6.3 Центр инерции. Ц – система

Ц ентр инерции. В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С - центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Ее положение относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором , определяемым следующей формулой:

(6.11)

где т_i и - масса и радиус-вектор i-й частицы, т - масса всей системы (рис. 6.4).

Следует заметить, что центр инерции системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Найдем теперь скорость центра инерции в данной системе отсчета. Продифференцировав (6.11) по времени, получим

(6.12)

Если скорость центра инерции равна нулю, то говорят, что система как целое покоится. Это вполне естественное обобщение понятия покоя отдельной частицы. Скорость же приобретает смысл скорости движения системы как целого.

Запишем (6.12) в виде

, (6.13)

где - полный импульс системы.

Продифференцировав это выражение по времени и учтя (6.4), получим уравнение движения центра инерции:

(6.14)

где - результирующая всех внешних сил.

Таким образом, если на систему действуют внешние силы (и она в общем случае совершает любое сложное движение), одна ее точка - центр инерции - движется так, как если бы все внешние силы были приложены к этой точке, и масса всей системы была бы сосредоточена в этой точке. При этом важно заметить, что движение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения данных внешних сил.

Далее, если , то центр инерции системы покоится или движется равномерно и прямолинейно. Так ведет себя центр инерции, например, замкнутой системы.

Уравнение (6.14) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его естественным обобщением на систему частиц: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы. Напомним, что в неинерциальных системах отсчета результирующая всех внешних сил включает в себя как силы взаимодействия с окружающими телами, так и силы инерции.

Рассмотрим три примера на движение центра инерции системы.

Задача 6.6

Покажем, как можно иначе решить задачу с человеком на плоту (см. пример 6.3), воспользовавшись поведением центра инерции этой системы.

Так как сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек - плот, равна нулю. А это значит, что положение центра инерции данной системы в процессе движения человека (и плота) меняться не будет, т. е.

,

где и - радиус-векторы, характеризующие положения центров инерции человека и плота относительно некоторой точки воды. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов и :

.

Имея в виду, что приращения и представляют собой перемещения человека и плота относительно воды, причем , найдем перемещение плота:

Задача 6.7

Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр инерции прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила , где т - масса человека.

Задача 6.8

Замкнутая цепочка, соединенная нитью с концом оси центробежной машины, равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (рис. 6.5). При этом нить образует угол ξ с вертикалью. Как ведет себя центр инерции цепочки?

П режде всего ясно, что при равномерном вращении центр инерции цепочки не движется в вертикальном направлении. Это значит, что вертикальная составляющая силы натяжения нити компенсирует силу тяжести (см. рис. 6.5справа). Горизонтальная же составляющая силы натяжения постоянна по модулю и все время направлена к оси вращения. Отсюда следует, что центр инерции цепочки - точка С – движется по горизонтальной окружности радиус которой ρ легко найти с помощью формулы (6.14), записав ее в виде

,

где т - масса цепочки. При этом точка С все время находится между осью вращения и нитью, как показано на рис. 6.5

Ц - система. В тех часто встречающихся случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы и не интересует движение этой системы как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр инерции покоится. Это позволяет значительно упростить и анализ явления, и соответствующие расчеты.

Систему отсчета, жестко связанную с центром инерции данной системы частиц и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра инерции, или, кратко, Ц - системой. Отличительной особенностью Ц - системы является то, что полный импульс системы частиц в ней равен нулю - это непосредственно следует из формулы (6.13). Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей Ц - системе.

Для замкнутой системы частиц ее Ц - система является инерциальной, для незамкнутой - в общем случае неинерциальной.

Найдем связь между значениями механической энергии системы в K - и Ц - системах отсчета. Начнем с кинетической энергии системы Т. Скорость i - й частицы в K - системе можно представить как

,

где - скорость этой частицы в Ц - системе, а - скорость Ц - системы относительно K - системы отсчета.

Тогда можно записать:

.

Так как в Ц – системе , то предыдущее выражение примет вид

, (6.15)

где - суммарная кинетическая энергия частиц в Ц - системе, m - масса всей системы, р — ее полный импульс в К - системе отсчета.

Таким образом, кинетическая энергия системы частиц складывается из суммарной кинетической энергии Т в Ц - системе и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого. Это важный вывод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейшем (в частности, при изучении динамики твердого тела).

Из формулы (6.15) следует, что кинетическая энергия системы частиц минимальна в Ц – системе - в этом еще одна особенность Ц - системы. Действительно, в Ц - системе и поэтому в (6.15) остается только Т.

Теперь перейдем к полной механической энергии Е. Так как собственная потенциальная энергия системы U зависит только от конфигурации системы, то значение U одинаково во всех системах отсчета. Добавив U слева и справа равенства (6.15), получим формулу преобразования полной механической энергии при переходе от K - к Ц - системе:

. (6.16)

Энергию

часто называют внутренней механической энергией системы.

З адача 6.9

На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие шайбы, каждая массы т, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Одной из шайб сообщили начальную скорость v₀, как показано на рис. 6.6

Какова внутренняя механическая энергия этой системы в процессе движения?

Поскольку плоскость гладкая, система в процессе движения будет вести себя как замкнутая. Поэтому ее полная механическая энергия Е и суммарный импульс будут сохраняться, оставаясь равными тем значениям, которые они получили в начальный момент, т. е. , . Подставив эти значения в формулу (6.16), получим

.

Нетрудно сообразить, что внутренняя энергия связана с вращением и колебанием данной системы, причем в начальный момент была равна только энергии вращательного движения.

Если система частиц замкнута и в ней происходят процессы, связанные с изменением полной механической энергии, то из (6.16) следует, что , т. е. приращение полной механической энергии относительно произвольной инерциальной системы отсчета равно приращению внутренней механической энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная движением системы частиц как целого, не меняется, ибо для замкнутой системы = const.

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее полная механическая энергия сохраняется во всех инерциальных системах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с принципом относительности Галилея.

Система из двух частиц. Пусть массы частиц равны т₁ и т₂, а их скорости в K - системе отсчета и соответственно. Найдем выражения, определяющие их импульсы и суммарную кинетическую энергию в Ц - системе.

Импульс первой частицы в Ц – системе

,

где скорость центра инерции (Ц – системы) в K - системе отсчета.

После подстановки в эту формулу выражения (6.12) для получим

, (6.17)

где μ - так называемая приведенная масса системы,

. (6.18)

Аналогично импульс второй частицы в Ц – системе

(6.19)

Таким образом, импульсы обеих частиц в Ц - системе одинаковы по модулю и противоположны по направлению, причем модуль импульса каждой частицы

, (6.20)

где - скорость одной частицы относительно другой.

Теперь обратимся к кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия обеих частиц в Ц – системе

.

Так как согласно (4.18) , то

. (6.21)

Если частицы взаимодействуют друг с другом, то полная механическая энергия обеих частиц в Ц – системе

(6.22)

где U - потенциальная энергия взаимодействия данных частиц.

Полученные формулы играют большую роль при изучении столкновения частиц.