2. Уравнения, решаемые выражением одной переменной через другую с последующим выделением целой части.

Пример 1.

Решить уравнение в целых числах:

Решение:

Т.к. уравнение не имеет корней в целых числах, то потери корней нет.

Т.к. , то - должно быть целым числом, т.е.

или Получим: или Ответ:

Пример 2.

Решить в целых числах уравнение:

Решение:

Выразим у через х из равенства

Т.к. , то может равняться , откуда

Ответ:

Пример 3.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

,

, если

Ответ:

Пример 4.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Выразим через : .

Преобразуем полученную дробь

Поскольку и – целые, то должно быть целым числом.

Имеем четыре возможности:

1)

2)

3)

4)

Затем находим и .

Ответ:

Пример 5.

Решить уравнение в целых положительных числах

Решение:

Перепишем данное уравнение в виде

Для того, чтобы было целым числом, знаменатель должен быть одним из делителей числа 243, потому что не может иметь общих множителей числа с . Поскольку 243 = 3 , то 243 делится только на следующие числа, являющиеся точными квадратами: 1 , 3 , 9 . Таким образом может быть равно 1, 9 или 81, откуда находим два решения

. Значит, ,

Итак, задача имеет два решения

Ответ:

3. Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

Пример 1. Найти все положительные числа для которых

Решение:

Введем обозначения:

Тогда

и поскольку то И

Аналогично получаем выражения для и :

После подстановки этих выражений в равенство, последнее примет вид:

Поделив почленно числители на знаменатели, придем к уравнению:

Т.к. сумма взаимно обратных положительных чисел не меньше 2 и равна 2 только в случае их равенства, то , тогда . Поэтому заданное равенство выполняется при любых равных положительных числах

Пример 2.

Решить уравнение в целых числах.

Решение:

Положив и подставив в исходное уравнение, получим, что , т.е.

Отсюда следует, что неотрицательно и делится на 3, т.е. Подставив , получим

Отсюда следует, что делится на 3, поэтому . Подставив , получим , . Так как , то либо , либо .

Если , то , и, значит, . Если же , то , При , получаем , , а при получаем

Ответ: (5, 4), (4, 5), (0, 0).

Пример 3. Решить уравнение в целых числах:

Решение:

Положим тогда

При имеем т.е. число заключено между квадратами двух последовательных чисел, что невозможно. Поэтому откуда . Далее перебираем

Ответ:

4. Учет ограниченности выражений.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах

Решение:

Заметим, что

- 3 + 4 = ( - ) +

Значит левая часть 7.

Равенство возможно, если

Откуда =

Ответ: уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 2.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

, или

откуда ,

т.е. , откуда u

Аналогично:

т.е.

Целое число u удовлетворяет неравенству

значит, и

При , получим где – не целое, что неверно.

Пусть , тогда

Ответ:

Пример 3.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Так как и 5 делятся на 5, то и 3 делится на 5,

откуда следует, что , где u – целое.

Аналогично:

для некоторого числа .

Уравнение принимает вид .

Следовательно, , , откуда |u| , |v|

Перебором устанавливаем, что |u| , |v| .

Ответ: