8. Учет остатков от деления на число.

При решении многих неопределенных уравнений полезно бывает пронаблюдать остатки чисел от деления на определенное число

Рассмотрим примеры, раскрывающие сущность этого метода.

Пример 1.

Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .

2. Исследуем, какие остатки может иметь при делении на 3 левая часть этого уравнения.

При теореме о делении с остатком число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если , то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если то , следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что правая часть уравнения делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Пример 2.

Решить в целых числах уравнение:

– 3 – 9 = 0

Решение:

1. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0, 0, 0).

2. Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду: x = 3y + 9z (*)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делиться на 3, следовательно, т.к. 3 – число целое, делится на 3, т.е. , подставим это выражение в уравнение (*):

,

откуда (**)

следовательно, делится на 3 и . Подставим полученное выражение в уравнение (**): , откуда (***)

В свою очередь, из этого уравнения следует, что делится на 3, и , n Z. Подставив это выражение в (***), получим, что должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трем, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трем. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т.е. решение данного уравнения (0;0;0) является единственным.

Пример 3.

Решить в натуральных числах уравнение

Решение:

Заметим, что

1. При , , и -12 кратны четырем, значит остаток от деления числа на 4 равен 3.

(Ост (

В правой части стоит квадрат натурального числа k, который при делении на 4 не может давать в остатке 3. Значит, при n уравнение корней не имеет.

б) Рассмотрим, случаи, когда

Если то k решений нет

то = k , (т.к. k N)

то k 9 = k ,

Ответ:

Пример 4.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Определим последнюю цифру числа, стоящего в левой части равенства (т.е. остаток от деления на 10).

а) При n 5

Ост , Ост

Таким образом, Ост ( , но квадрат целого числа k не может оканчиваться на такую цифру. Значит, при 5, уравнение решений не имеет.

б) Рассмотрим оставшиеся случаи

Если , 12 + 11 + 2 = 25, k =

Если , нет целых решений

Если , , нет целых

решений

Если , нет целых решений

Ответ: , 5

Пример 5.

Решить уравнение:

Решение:

Определим остатки от деления на 4 левой и правой частей равенства

Т.к. Ост ; , то Ост ( ) =

а

Ост то решений нет.

Пример 6.

Решить в целых числах

Решение:

Если , то Ост (3 , значит, если решение есть, то – четно, т.е. . Тогда 3 = 2 - 7 = 4 - 7.

Но Ост , значит если решение есть, то m должно быть четным, т.е.

Итак, в результате имеем 3 = 2 - 7 или 7 = 2 - 3 =(2 - 3 ) (2 + 3 )

Отсюда то есть

При получим

Ответ: (2;4), (0;3).

Пример 7.

Решить уравнение в целых числах:

x + y + z = 8t – 1

Решение:

Ост

Ост (x + y + z )

Ост

Значит, решений нет

Ответ: решений нет.

Пример 8.

Решить уравнение в целых числах

+ + … +

Решение:

дает при делении на 15 остаток 0 или 1, поэтому + … + дает остаток, не больший 14, а 1599 дает остаток 15 при делении на 16.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим еще одно уравнение. Советуем разобрать и запомнить приемы, используемые при его решении. Они достаточно часто применяются.

Пример 9.

Найти натуральные и , для которых выполняется равенство 2

Решение: Рассмотрим два случая.

1) ( – нечетное число). Поскольку 2 при делении на 3 дает в остатке 1, то 2 при делении на 3 дает в остатке 15 делится на 3. Следовательно, не делится на 3. Но квадрат числа, не делящегося на 3, дает при делении на 3 в остатке 1. Таким образом, равенство невозможно (левая и правая части дают при делении на 3 разные остатки).

2). . Тогда 2 - у , откуда (2 - y) (2 + y) .

Оба множителя слева целые и положительные (т.к. второй множитель положителен), второй больше первого. Возможны два варианта:

2 - y = 1, 2 и 2 - y = 3, 2 + y = 5, откуда получим решения и

Ответ:

9. Учет свойств делимости.

Пример 1.

Решить в целых числах уравнение

Решение:

Очевидно, что х должен быть кратным пяти. Полагая x = 5z, получаем

(1)

Левая часть этого уравнения должна быть кратная девяти, и т.к. число может быть представлено в одном из трех видов: 3t, , , то подстановкой этих выражений в уравнение (1) убеждаемся, что число, кратное девяти, дает только тот случай, когда z может быть представлено в виде .

В этом случае

,

При любом целом получаем соответственно целые решения данного уравнения.

Ответ: