1.2. Решение разностных уравнений с помощью z-преобразования

При описании дискретных систем и решении разностных уравнений широко применяется аппарат z-преобразования – это дискретный аналог преобразования Лапласа. Например, умножение изображения F(p) на оператор Лапласа р соответствует дифференцированию непрерывной функции f(t). Умножение изображения F(z) на оператор z соответствует сдвигу функции f(t) (которая может быть непрерывной, дискретной или решетчатой) на один такт.

Таким образом, если операторы р и 1/р – это операторы дифференцирования и интегрирования, то операторы z и z^-1 – это операторы сдвига влево и вправо. С инженерной точки зрения оператор z^-1 представляет собой элемент задержки.

Существуют также определенные параллели между изображениями функций F(p) и F(z). Например, изображению по Лапласу F(p) = 1 соответствует дельта-функция f(t) = (t), а изображению F(z) = 1, соответствует единичный импульс. В том и другом случае оригиналом является элементарное импульсное воздействие.

Краткая таблица z-преобразований других функций приведена на стр.22 (табл.1.2).

Пусть дано разностное уравнение n-го порядка

(2.3)

с начальными условиями .

Алгоритм его решения с помощью z-преобразования следующий:

• применим z-преобразование к уравнению (2.3), заменяя f(t) на F(z), y(t) на Y(z); y(t+1) на z(Y(z)-y₀) и т.д.;

• из полученного алгебраического уравнения выразим Y(z);

• выполним разложение Y(z) на простые дроби;

• пользуясь табл.1.2 (стр.22), выполним обратное z-преобразование.

Результатом будет искомое решение разностного уравнения.

Пример 4. Требуется решить разностное уравнение второго порядка

с нулевыми начальными значениями y₀, y₁ и входным сигналом u_n = 1.

Решение:

• применяем к нему z-преобразование

;

• выражаем Y(z) и подставляем :

;

• представляем правую часть в виде суммы простых дробей с переменной z в числителе:

,

разложение можно выполнить методом неопределенных коэффициентов или в пакете Matlab с помощью команды [R,P,K]=residue(B,А), где векторы В и А – коэффициенты полиномов числителя и знаменателя в порядке убывания степени z; синтаксис команды residue для Y(z) данного примера следующий: [R,P,K]=residue([1],[1 -6 11 -6]), в результате получим R – коэффициенты числителей суммы простых дробей, P – знаменатели простых дробей, K – свободный член;

• с помощью z-преобразований (табл.1.2, стр.22) или команды iztrans тулбокса SYMBOLIC пакета Matlab находим оригиналы каждого из слагаемых и суммируем их: .

2. Методические указания

2.1. Задание и таблица вариантов

Дискретная система задана неоднородным разностным уравнением вида . Для ее исследования необходимо решить заданное разностное уравнение с помощью характеристического полинома (см. п.1.1).

Начальные условия: y₀ = 0; y₁ = 0.

Входной сигнал: u_n = 1.

Коэффициенты разностного уравнения a и b указаны в табл. 2.1.

Таблица вариантов 2.1

Коэффициенты a и b разностного уравнения

2.2. Задание и таблица вариантов

Дискретная система задана неоднородным разностным уравнением вида . Необходимо найти реакцию системы на входной сигнал u_n = 1, решив разностное уравнение, используя z-преобразование и последовательно рассчитав точки y₂, …, y₅ (см. п.1.2).

Начальные условия: y₀ = 0; y₁ = 0.

Коэффициенты разностного уравнения a и b указаны в табл. 2.2.

Таблица вариантов 2.2

Коэффициенты a и b разностного уравнения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
b	-1.3	-0.7	-0.2	-2	-1.6	1.6	-1.6	1.9	-2.8	2.5
a	0.3	-0.6	-0.48	0.96	0.6	0.55	0.48	0.6	1.8	1

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
b	0.5	-0.72	-1.28	-2	2.88	-0.5	-0.72	-1.28	-2	-2.88
a	-0.27	-0.4	-0.7	-1.1	1.6	-0.25	-0.37	-0.66	-1.1	1.5

Привести числовое решение разностного уравнения, дискретную передаточную функцию, ее разложение на простые дроби и график y_n.