§6. Функцияның жоғарғы және төменгі шектері

1. Функцияның дербес шегі. Әуелі дербес шектің екі аныктамасын берейік. f функциясы X жиынында аныкталып, а нақты саны сол жиынның шектік нүктесі болсын. а - нақты сан, + немесе --тің бірі болсын, ягни [-, +].

x_n X, x_n ≠a, x_na (n+ ) (1)

қанагаттандыратын белгілі бір {х_n}_n1 тізбегі мен оған сәйкес {f(х_n)} тізбегі үшін (2)

теңдігі орындалса, онда -ны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп атайды.

Дербес шектің «-» тіліндегі анықтамасы. Егер әрбір  және  оң сандары үшін х'Х, 0<|y-а|< (3) және  нақты сан болғанда |f(х')–|<,а=+ болғанда f(х')>, =- болғанда f(х')<- шарттарын қанагаттандыратын х' саны табылса, онда а саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі деп аталады.

Бұл анықтамалар эквивалентті болады. Алдымен а нақты саны дербес шектің тізбектер тіліндегі анықтамасы бойынша f функңиясының а нүктесіндегі дербес шегі болып,  және  оң сандары берілсін. Берілген  оң саны үшін (2) бойынша

nK₁()  |f(х')–|<

шарты орындалатын К₁() оң бүтін саны табылады. Берілген  оң саны үшін (1) бойынша

nK₂() |x_n–a|< (4)

шарты орындалатын K₂() оң бүтін саны табылады. Бұдан саны үшін (3) және (4) шарттары орындалуы айқын, демек, дербес шектің «-» тіліндегі анықтамасы бойынша  нақты саны f функциясының а нүктесіндегі дербес шегі болады.

Кері, дербес шектің «-> тіліндегі анықтамасы бойынша  нақты саны f функциясының а иүктесіндегі дербес шегі болсын.

Әрбір n оң бүтін нақты саны үшін  =  = 1/n болғанда (3) және (4) шарттарын қанағаттандыратын х' санын х_n символымен белгілсек, онда

болады. Бұдан nх_n тізбегі үшін (I) және (2) шарттары орындалуы айқын, яғни дербес шектің тізбектер тіліндегі анықтамасы бойынша  нақты саны f функциясының а дербес шегі болады.

Сонымен. дербес шек нақты сан болғанда екі анықтаманың эквиваленттілігі дәлелденді. =+ және =- жағдайлары да дәл осылай дәлелденеді.

Мысалдар. 1. функциясы үшін [-1, +1] сегменті f функциясының 0 нүктесіндегі дербес шектер жиыны болады.

Расында, y₀[-1, +1] болса, онда тізбегі үшін x_n  0, x_n  0, f(x_n) = y₀  y₀ (n   ), яғни у₀ саны f функциясының 0 нүктесіндегі дербес шегі.

2. функциясының 0 нүктесіндегі дербес 1 және -1 сандарынан құрылған екі элементті жиын болады.

3. функциясының 0 нүктесіндегі дербес шектер жиыны – және + ақырсыз сандарынан [–, +] сегментінің екі элементті жиыншасы болады.

Кез келген функцияның кемінде бір дербес шегі бар болады, Расында да, a нақты саны X жиынының шектік нүктесі болғандықтан, (1) шарттарын қанағаттандыратын тізбегі табылады. Дәл осы тізбекке сәйкес тізбегінің Больцано — Вейерштрасс теоремасы бойынша белгілі бір ₀ (₀  [-, +]) санына ұмтылатын тізбекшесі бар болады. тізбегі тізбегінің тізбекшесі болады, сондыктан ол (1)-деп көрсетілген шарттарды қанағаттандырады.

Сонымен, f функциясының а нүктесінде ₀-ға теңдеуі дербес шегі бар болады.

Әрине, f функциясының а нүктесінде шегі бар және  ( [-, +]) санына тек болуы үшін оның дербес шектер жиыны құрамында тек қана сол а саны болатын бір элементті жиын болуы қажетті және жеткілікті.

Бұл дербес шек пен шектің тізбектер тіліндегі анықтамаларынан айқын түрде шығады.