§ 7. Функцияларды салыстыру. Ландау символдары

1. Ландау символдары. Әрбір жеке алынған сан, функция «үлкен» немесе, «кішкене» де емес, Сандар, функциялар жөнінде «үлкен», «кішкене» деп тек қана оларды өзара салыстырғанда ғана айтуға болады. Сондай салыстыруларды көрнекі және ықшамды түрде жазу үшін келесі Ландау символдары деп аталатын о және 0 символдарын қолданған өте пайдалы.

және функциялары X жиынында анықталып, р сол жиынның шектік нүктесі болсын. Кайсыбір С және оң сандары мен р-ның ойылған -маңайында жататын барлық үшін теңсіздігінің орындалуы

(1) символымен белгіленеді (« р-ға ұмтылғанда, функциясы -пен салыстырғанда О үлкен» немесе қысқаша, «p-да , -ға қараганда О үлкен деп оқылады). p=а (а - накты сан) р= болғанда кванторлар тілінде О символы сәйкес былай анықталады:

(2) және

(3)

М ы с а л д а р.

1. , бірақ

2. , бірақ

және (соңғы екі шарт теңдігінен шығады).

Әрбір ε саны бойынша р-ның белгілі бір ойылған δ-маңайынан алынған кез келген xX үшін f(x)εφ(x) теңсіздігінің орындалуы

= ( ) (x  p) (4)

символымен белгіленіеді («x р-ға ұмтылғанда f(х) функцнясын φ(х)-пен салыстырғанда о кішкене» немесе, қысқаша, «р-дан f, φ-ға карағанда о кішкене» деп оқылады).

М ы с а л д а р.

1. , бірақ

2. , бірақ

Егер әрбір хр үшін φ (х) 0 болса (дәл айтканда, р-ның белгілі бір ойылған маңайындағы бірде-бір нүктеде φ нолге айналмаса), онда (1) шарты - функциясының р-да локальді шенелгендігіне, ал (4) шарты теңдігінің орындалуына (яғни, х р-ға ұмтылғанда f(х) функциясы φ (х) функциясына қарағанда нольге «тез» ұмтылуына) пара-пар екені айқын.

Бұдан φ(х)=1 болғанда f(х)=О(1) (хp) шарты f-тің р-да локальді шенелгендігіне, f(х)=o(1) (хp) шарты р-да f-тің шегі бар және 0 санына тең болуына пара-пар екенін көреміз.

О және о символдарының түсінуге жеңілдеу болатын f/φ қатынасы ретінде анықталмауының себебі мынада: р-ның кез келген ойылған маңайында φ нольге айналатын нүкте бар болуы мүмкін, демек, f(x)/φ(x) қатынасы мағынасыз болады. (Мысалы, , болғанда , болады).

1 Р. Бэр (1874—1932)—француз математигі.