20. Сегментінің бірде-бір элементі функциясының мәні болмауы мүмкін:

функциясы үшін , бірақ кез келген және кез келген үшін (30-суретті қараңыз). Сонымен функциясы « -ға жақындағанда мен арасында тербеліп өзгерсе де» (мысалы, n өскен сайын 0-ге жақындайтын сандарына сәйкес мәндерін алсақ), олардың арасындағы бірде-бір санды өзінің мәні ретінде қабылдамауы мүмкін.

санын функциясының a нүктесіндегі тербелісі дейді де, символымен белгілейді. Демек,

Әрине, әрқашанда тецдігі а нүктесінде локальді шенелген функциясының а нүктесінде нақты мәнді шегі бар болуына пара-пар. Расында да, болса, онда болып, 1⁰ қасиеті жай шектің анықтамасына айналады. Басқаша айтканда, а нүктесінде локальді шенелген функциясы үшін сол нүктедегі жоғарғы және төменгі шектері тең болса, яғни теңдігі орындалса, онда функциясының а нүктесінде аталған шектердің ортақ мәніне тең жай нақты мәңді шегі де бар болады.

Кері тұжырым, яғни әрбір нақты шегі бар функцияның жоғарғы және төменгі шектерінің тең болуы, яғни теңдігінің орындалуы, функция шегінің тізбектер тіліндегі анықтамасының дәл өзі болады. Сонымен, локальді шенелген функцияның нақты шегі бар болуы үшін оның жоғарғы және төменгі шектерінің тең болуы, яғни теңдігінің орындалуы кажетті және жеткілікті. Сондықтан, а нүктесінде локальді шенелген функциясының нүктесінде ешқандай шегі болмауы үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Расында да, -тің -да накты шегі бар болғандықтан, -тің а-да нақты шегі жоқ болады. Ал әрқашанда болғандықтан, .

Тербелістің мағынасы мынада:

Қандай да санын алсақ та, -ның белгілі бір ойылған маңайында қабылданған функцияның кез келген екі мәнінің бір-бірінен өзгешелігінің абсолютті шамасы санынан аспайды. Сонымен бірге, әрбір оң және . сандары үшін теңсіздігін қанағаттандыратын -ның ойылған -маңайында және нүктелері табылады.

Сонымен, а нүктесінің қасында функциясының мәндерінің бір-бірінен өзгешелігінің ең үлкені шамамен санына тең болады.

4. Жалпы жағдай. Бұнда жоғарғы және төменгі шектер ұғымдары жалпы жағдайға таратылады. Функциясы жиынында анықталып, жиынының шектік нүктесі болсын.

Егер саны үшін шарттарын қанағаттандыратын тізбегі табылса, онда а санын функциясының р-дағы дербес шегі дейді.

Бұл жағдайда да әрқашанда кемінде бір дербес шек бар болуы түгіл, олардың ішінде ең үлкені және ең кішісі бар болады. Оның дәлелдеуі жоғарыда берілген жағдайына ұксас боғандықтан, оқырманның өзіне ұсынамыз.

Ең үлкен дербес шекті функциясының р-дағы жоғарғы шегі деп атайды да, немесе символдарымен белгілейді. Оның мәні (бұнда ақырлы р үшін , ақырсыз р үшін ) өрнектері арқылы бейнеленген санға тең болады.

Ең кіші дербес шекті функцясының р-дағы төменгі шегі деп атайды да, немесе символдарымен белгілейді. Оның мәні өрнектері арқылы бейнеленген санға тең болады. Егер болса, онда

(20)

болады. Демек, X барлық оң бүтін сандардың жиыны болса, онда тізбек болады да, әдеттегідей х=n, , белгілеулеріне көшсек, (20) былай жазылады

Сонымен, тізбектің жоғарғы шегінің анықтамасына келдік.