Основные законы динамики вращательного движения

II закон Ньютона для вращательного движения имеет вид:

,

где - векторная сумма моментов сил, действующих на тело.

При нахождении модуля суммы моментов, определяя знак момента силы можно пользоваться простым правилом: если момент силы вращает тело по часовой стрелке, то его величина берётся со знаком "+", если же против часовой стрелке – то со знаком "-".

Примеры решения задач на динамику

Задача 2.1: Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 5). Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁ = m₂ = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол  = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Дано: кг  = 0,1  = 60	Решение 1. Перед решением задачи, необходимо выполгнить рисунок, на котором изобразить то, что дано в задачи и указать все силы, действующие на тела (рис. 2.1) 2. Так как в задаче требуется найти ускорение и силу, то для решения необходимо использовать II закон Ньютона: (так как массы тел = const).
a – ? T – ?

В задаче даны два тела. Поэтому необходимо записать уравнения по II закону Ньютона для каждого из них:

1 тело:	,	(1)
2 тело:	.

О братите внимание, что ускорение и сила натяжения не имеют индексов, так как их значения одинаковы для обоих тел. Подумайте, почему?

3. Для решения получившейся системы уравнений (1) необходимо перевести уравнения в скалярный вид. Для этого запишем эти уравнения в проекциях на оси координат. Для каждого тела можно ввести свою собственную систему координат. Мы предлагаем для первого тела ограничиться только осью Oy, а для второго тела выбрать направление осей координат, как на рис. 2.1.

В результате получим:

1 тело:	Oy: ,	(2)
2 тело:	Ox: , Oy: .	(3)
		(4)

4. По закону Амонтона-Кулона сила трения равна:

.

Силу реакции (N) можно выразить из уравнения (4):

.

Тогда для силы трения получим:

.

(5)

5. Чтобы найти ускорение тел, выразим из уравнения (2) силу натяжения и подставим её в уравнение (3). Получим:

,	(6)
.

Выразим ускорение:

.

С учётом (5), получим:

.

Полученное уравнение позволяет посчитать ускорение тел:

м/с2.

6. Теперь можно найти силу натяжения нити, используя уравнение (6):

Н.

Ответ: м/с²; Н.

Задача 2.2: Шарик массы m = 1 кг, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия на угол 60 и отпускают. Какова сила натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия?

Дано: m = 1 кг  = 60	Р ешение 1. Перед началом решения необходимо изобразить рисунок к условию задачи, на котором необходимо отобразить силы, действующие на шарик (рис. 2.2).
T – ?

2 . Для того чтобы найти силу натяжения нити в тот момент, когда шарик проходит положение равновесия необходимо записать второй закон Ньютона для шарика:

так как m = const, или .

В проекции на ось Oy:

,

. (1)

3. Ускорение шарика в положении равновесия направлено вдоль нити. Кроме того, в положении равновесия ускорение шарика перпендикулярно скорости. Значит, оно является нормальным ускорением. Для нормального ускорения можно записать:

, (2)

где - скорость шарика в момент прохождения положения равновесия.

4. Скорость шарика в положении равновесия можно найти, используя закон сохранения энергии.

В положении 1 полная механическая энергия шарика равна:

(за начало отсчёта высоты примем положение равновесия шарика).

В положении 2 полная механическая энергия шарика равна:

.

Так как при движении шарика вниз не происходит потерь энергии (нет сопротивления воздуха), то полные механические энергии шарика в положениях 1 и 2 равны:

.

Отсюда:

.

Из рисунка можно выразить: (попробуйте получить это уравнение самостоятельно). Таким образом:

. (3)

Запишем уравнение (1) с учётом (2) и (3):

.

Подставим числовые значения:

Н

Ответ: T = 20 Н

Задача 2.3: Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол  = 30. Пройдя путь S = 50 см, тело приобретает скорость 2 м/с. Найти коэффициент трения .

Дано: S = 50 см  = 30  = 2 м/с	Решение: 1. Перед началом решения необходимо изобразить рисунок к условию задачи, на котором необходимо отобразить силы, действующие на шарик (рис. 2.3). 2. Для решения задачи воспользуемся II законом Ньютона:
 – ?

(так как m = const).

В нашем случае закон примет вид:

.

(1)

3 . Для решения уравнения (1) его необходимо перевести в скалярный вид. Для этого запишем его в проекциях на оси координат. Причём систему координат выберем таким образом, чтобы одна из осей (Ox) шла вдоль наклонной плоскости.

Очевидно, что вектор сила тяжести (mg) не совпадает ни с одной осью. Рассмотрим подробнее, как найти его проекции. Для этого необходимо опустить перпендикуляры из конца вектора на оси координат. Получившиеся отрезки и будут проекциями вектора (см. рис. 2.4). Величину этих проекций (отрезков) легко найти используя sin () и cos (). Попробуйте это сделать самостоятельно.

В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид:

Ox: ,	(2)
Oy: .	(3)

4. Величину силы трения можно определить по закону Амонтона-Кулона:

.

Силу реакции (N) выразим из уравнения (3):

.

Тогда для силы трения получим:

.

(4)

5. Подставим выражение (4) в уравнение (2):

.

(5)

И выразим коэффициент трения :

(сократили на m).

(6)

6. Теперь видно, что для того, чтобы определить коэффициент трения, нам необходимо найти ускорение тела. Это можно сделать с помощью уравнений кинематики. Так как ускорение тела постоянное, то тело движется равноускоренно. Запишем уравнения кинематики для равноускоренного движения:

,	(7)
,	(8)

Начальная скорость тела равна нулю ( ). Выражая время из уравнения (7) и подставляя его в (6) можно получить:

.

(9)

Выразим ускорение:

.

(10)

Так как уравнение (5) получилось достаточно громоздким, то есть смысл посчитать ускорение отдельно, а в уравнение (5) подставить уже рассчитанное значение.

м/с2.

7. Посчитаем коэффициент трения:

.

Ответ:  = 0,12

Задача 2.4: Диск массой 100 кг и радиусом 0,6 м вращается, делая 120 об/мин. После приложения к ободу диска касательной силы трения величиной 60 Н, диск остановился. Сколько оборотов он сделал до остановки? Какое количество тепла при этом выделилось?

Дано: m = 100 кг R = 0,6 м n0 = 120 об/мин = 2 об/с Fтр = 60 Н	Р ешение: 1. Перед началом решения необходимо изобразить рисунок к условию задачи, на котором необходимо отобразить силы и моменты сил, действующие на диск (рис. 2.5). 2. Действие касательной силы трения, приложенной к ободу диска можно охарактеризовать моментом силы трения (тормозящим моментом):
N – ? Q ­– ?
, .		(1)

Необходимо помнить, что вектор момента силы обязательно лежит на оси вращения. Направление тормозящего момента связано с направлением касательной силы правилом «буравчика»: если буравчик вращать по направлению силы, то его поступательное движение покажет направление момента.

2. В результате действия тормозящего момента, диск приобретёт угловое ускорение величину которого можно определить с помощью II закона Ньютона для вращательного движения:

, при ,
,	(2)

где – момент инерции диска.

Так как на диск действует только один момент (тормозящий), то он будет сонаправлен с угловым ускорением:

.

(3)

3. Подставляя в уравнение (3) формулу для момента силы трения (1), можно найти угловое ускорение диска:

,
.	(4)

4. Количество оборотов, которое сделает диск до остановки, можно найти с помощью уравнений кинематики для вращательного движения:

,	(5)
.	(6)

Знак "-" в уравнениях (5) и (6) означает, что диск движется равнозамедленно, т.е. тормозит с постоянным ускорением.

Угол поворота диска  можно определить через число оборотов диска:

,

(7)

так как один оборот диска соответствует углу поворота равному 2.

Начальная угловая скорость может быть найдена через частоту вращения:

.

(8)

Записав уравнения (5) и (6) с учётом (7) и (8), а также учитывая, что конечная угловая скорость диска равна нулю ( ), получим:

,	(9)
.	(10)

Осталось выразить из уравнения (10) время и подставить его в (9):

,
.

Сокращая на 2 и учитывая формулу (4), получим:

об.

5. Чтобы найти количество теплоты, выделившееся при торможении, воспользуемся законом сохранения энергии. До торможения диск обладал кинетической энергией:

.

При остановке диска, его кинетическая энергия тратится на работу, совершаемую против момента силы трения. Следовательно, согласно закону сохранения энергии:

,

где – изменение кинетической энергии диска. Так как диск полностью останавливается, то .

Результатом работы момента силы трения является нагрев диска:

.

Следовательно:

Дж

Ответ: N = 6,28 об; Q = 1420 Дж