4.1 Молекулярная физика и термодинамика Краткие теоретические сведения

Моль – количество вещества, в котором содержится число частиц (молекул, атомов и т.п.), равное числу атомов в 0,012 кг изотопа углерода С¹².

Число Авогадро – число частиц в одном моле вещества.

1/моль

Молярная масса – масса одного моля.

Характеристические скорости молекул:

1. средняя квадратичная:

   ,

2. средняя арифметическая:

   ,

3. наиболее вероятная:

,

где k = 1,3810^-23 Дж/К – постоянная Больцмана; m₀ – масса молекулы.

Давление газа на стенку сосуда:

,

где n – концентрация молекул.

Средняя кинетическая энергия молекулы:

,

где i – число степеней свободы молекулы. Причём:

,

где , , - число степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движения соответственно.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клайперона):

,

где p – давление газа; V – объём газа; – универсальная газовая постоянная;  - количество вещества; Т – температура.

Количество вещества можно определить по формулам:

,

где N – число молекул;  – молярная масса.

1-ое начало термодинамики – количество тепла, сообщённое системе, идёт на приращение внутренней энергии системы ( ) и на совершение системой работы над внешними телами ( ):

.

Внутренняя энергия системы определяется уравнением:

.

В общем виде работа системы над внешними силами определяется как

.

В случае изобарного процесса:

,

изотермического процесса:

.

Тепловой двигатель (тепловая машина) – устройство, преобразующее тепловую энергию движения молекул в механическую работу.

КПД теплового двигателя:

,

где Q₁ – количество теплоты, полученное от «нагревателя»; Q₂ – количество теплоты, отданное «холодильнику».

Цикл Карно (идеальный цикл) – обратимый круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов, обладающий самым высоким КПД при данных условиях.

КПД цикла Карно определяется уравнением:

,

где T₁ – температура «нагревателя»; T₂ – температура «холодильника».

Примеры решения задач на колебательное движение

Задача 4.1: Баллон емкостью 10 л содержит гелий. Давление газа 1 МПа, температура 400 К. Определить массу газа.

Д ано: гелий V = 10 л = 0,01 м3 p = 1 МПа T = 400 К	Решение: 1. Значения параметров газа связывает между собой уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клайперона): , (1)
m – ?

где  - молярная масса газа (гелия), R = 8,31 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная,

2. Выразим массу из выражения (1):

.

Молярная масса гелия:

кг/моль.

Обратите внимание, что значение молярной массы, выраженной в г/моль численно равно относительной молекулярной массе, указанной в таблице Менделеева. Для расчётов же, необходимо перевести молярную массу в кг/моль.

Произведём расчёт массы:

кг = 12 г

Ответ: m = 12 г.

Задача 4.2: Определить кинетическую энергию, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы углекислого газа при температуре 500 К, а также кинетическую энергию поступательного движения, вращательного движения и полную кинетическую энергию молекулы.

Дано: углекислый газ ( ) T = 500 К	Р ешение: 1. Согласно теореме о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы движения молекулы, на одну степень свободы приходится энергия, равная: ,
– ? – ? – ? – ?

Дж.

где Дж/(К) – постоянная Больцмана.

2. В общем случае, кинетическая энергия молекулы находится по формуле:

,

где

Молекула углекислого газа является трёхатомной. Для трёхатомных молекул = 3, = 3, = 3. Но степени свободы колебательного движения существенны только при высоких температурах, а при температуре 500 К ими можно пренебречь. Следовательно, число степеней свободы молекулы углекислого газа при температуре 500 К:

.

Определим полную кинетическую энергию молекулы

Дж.

На поступательное движение приходится:

Дж.

На вращательное движение приходится:

Дж.

Ответ: Дж; Дж; Дж;

Дж.

Задача 4.3: Масса 10 г кислорода находится при давлении 304 кПа и температуре 100 С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Найти объем газа до расширения, температуру газа после расширения, плотности газа до и после расширения.

Дано: кислород m = 10 г = 0,01 кг p = 304 кПа = const t1 = 100 С V2 = 10 л = 0,01 м3	Р ешение: 1. Изобарное расширение газа описывается законом Гей-Люссака: или (1) где , и , – значения объёма и температуры газа до и после расширения
V 1 – ? T2 – ? – ? – ?

2. Кроме того, можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клайперона):

.

(2)

3. Объём газа до расширения найдём с помощью уравнения (2):

,

где К – температура газа до расширения; кг/моль – молярная масса кислорода.

м3.

4. Теперь, зная начальный объём газа, можно воспользоваться уравнением (1) и определить температуру после расширения:

,
К.

5. Плотность газа до и после расширения можно найти по уравнению:

,
кг/м3,
кг/м3.

Ответ: м³; К; кг/м³; кг/м³.

Задача 4.4: Азот массой 1 г был нагрет на 300 К при постоянном давлении. Определить количество теплоты, переданное газу, работу расширения и приращение внутренней энергии газа.

Дано: азот m = 1 г = 110-3 кг p = const T = 300 К	Решение: 1. Количество теплоты, сообщаемое газу, связано с работой и внутренней энергией 1-ым началом термодинамики: . (1) 2. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры.
– ? – ? – ?

Так как в условии задачи дано изменение температуры, то это позволяет определить изменение внутренней энергии газа:

,

(2)

где - число степеней свободы молекулы азота (молекула двухатомная); кг/моль – молярная масса азота.

Дж.

3. Работа газа при изобарном процессе (p = const) определяется уравнением:

,

(3)

где - изменение объёма газа.

В условии задачи изменение объёма не дано, но с помощью уравнения состояния идеального газа его можно связать с изменением температуры. Для этого надо записать уравнения для начального и конечного состояния газа, а, затем, вычесть одно из другого:

,
,
,
,
.	(4)

Тогда с учётом (4) формула для работы газа (3) примет вид:

.

(5)

Если сравнить между собой уравнения (2) и (5), то можно увидеть, что

,

(6)

и работу газа можно найти достаточно легко:

Дж.

4. Теперь можно воспользоваться 1-ым началом термодинамики (1) и найти количество теплоты, сообщённое газу:

Дж.

Ответ: Дж; Дж; Дж.

Задача 4.5: Азот при нормальных условиях имел объем 100 м³. Какую работу совершил газ при изотермическом изменении его объема до 150 м³?

Дано: азот н.у. = const V1 = 100 см3 = 110-4 м3 V2 = 150 см3 = 1,510-4 м3	Р ешение: 1. Работу газа при адиабатическом процессе можно найти исходя из формулы для работы газа: , подставив вместо давления выражение, которое можно получить из уравнения состояния идеального газа
– ?

.

(записав его для начального состояния газа):

Таким образом, получим:

.

Получившийся интеграл является табличным: . Следовательно:

,

(1)

где кг/моль – молярная масса азота.

Но в условии задачи не дана масса газа. Чтобы выразить её, воспользуемся уравнением состояния идеального газа (записав его для начального состояния газа):

,

откуда

.

(2)

4. Подставим (4) в (3):

.

По условию задачи газ первоначально газ находился при нормальных условиях (н.у.). Это означает, что давление было равно нормальному атмосферному давлению ( Па).

Произведём расчёт:

Дж.

Ответ: Дж.

Задача 4.6: Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя 470 К, температура охладителя 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу 100 Дж. Определить термический КПД цикла, а также теплоту, которую газ отдает «холодильнику» при изотермическом сжатии.

Дано: = 470 К = 280 К = 100 Дж	Решение: (1) 1. Термический КПД цикла Карно определяется уравнением: зная температуры нагревателя ( ) и холодильника ( ) легко посчитать:
– ? - ?

.

2. Формула (1) позволяет определить КПД идеального теплового двигателя, т.е. двигателя, работающего по циклу Карно. С другой стороны, для КПД любого теплового двигателя справедливо уравнение:

(2)

3. Работа, совершаемая за цикл:

.

(3)

Объединяя уравнения (2) и (3) можно получить (попробуйте вывести эту формулу самостоятельно):

.

(4)

Выразим из уравнения (2) :

.

С учётом уравнения (4):

.

Подставляя значения, получим:

Дж.

Ответ: ; Дж.