§3 Прискорення. Визначення швидкості тіла за його прискоренням. Швидкість та координати тіла під час рівноприскореного руху [1]

1. Щоб охарактеризувати зміну швидкості частинки з часом, використовується величина

, (3.1)

яка називається прискоренням частинки. Взявши до уваги визначення швидкості, можна написати

. (3.2)

Отже, прискорення можна визначити як першу похідну швидкості за часом або як другу похідну радіус-вектора за часом.

Підставимо у формулу (3.2) радіус-вектор, який виражений через орти та координати матеріальної точки . Візьмемо до уваги, що є постійними векторами, й отримаємо

. (3.3)

Разом з тим прискорення, як і будь-який інший вектор, можна виразити через його проекції:

.

Порівняння цього виразу з (3.3) дає, що

. (3.4)

Таким чином, компоненти прискорення дорівнюють другим похідним відповідних координат за часом.

2. Знайдемо швидкість та радіус-вектор матеріальної точки в момент часу за відомим у кожний момент часу вектором прискорення , початковою швидкістю та початковим радіус-вектором , які мало тіло в момент часу .

Використовуючи визначення прискорення (3.1), можемо записати

.

Далі проінтегруємо праву і ліву частини цього співвідношення. При цьому візьмемо до уваги, що в момент часу швидкість мала значення , а в момент часу швидкість мала значення

.

Тут також перепозначили в підінтегральному виразі на (визначений інтеграл від позначення змінної інтегрування не залежить). Далі отримуємо шукану залежність швидкості тіла від часу

. (3.5)

Для знаходження радіус-вектора матеріальної точки в момент часу використаємо визначення швидкості . Звідси

.

Далі аналогічно як і в попередньому випадку інтегруємо праву і ліву частини цього співвідношення. Візьмемо до уваги, що в момент часу радіус-вектор мав значення , а в момент часу – , і отримуємо

. (3.6)

Таким чином, отримали формули (3.5) і (3.6), які дозволяють знайти швидкість та радіус‑вектор матеріальної точки в довільний момент часу за відомою залежністю прискорення від часу .

3. Рівноприскореним рухом називають такий рух, коли вектор прискорення тіла в будь-який момент часу має одне і те саме значення як за модулем, так і за напрямком ( ).

Знайдемо, як змінюються з часом швидкість та радіус-вектор тіла при рівноприскореному русі. Для розв’язання цієї задачі використаємо формули (3.5) та (3.6). Для спрощення математичних формул візьмемо, що .

Зі співвідношення (3.5) знаходимо швидкість при рівноприскореному русі

. (3.7)

Тут при інтегруванні використали, що для рівноприскореного руху . Далі отриману швидкість (3.7) підставляємо в (3.6) і знаходимо шуканий радіус-вектор

. (3.8)

Як правило, використовують формули (3.7), (3.8) не у векторній формі, а в скалярній. Спроектуємо ці формули, наприклад, на вісь і отримаємо

, . (3.9)

§4 Тангенціальне й нормальне прискорення. Радіус кривизни [1]

Рисунок 4.1

1. Розглянемо криволінійний плоский рух, в якому швидкість змінюється як за величиною, так і за напрямком. Виявляється, що в цьому випадку зручно використовувати поняття тангенціального та нормального прискорень. Тангенціальним прискоренням називають компоненту повного прискорення , яка паралельна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 4.1). Нормальним прискоренням називають компоненту повного прискорення , яка перпендикулярна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 4.1). Зрозуміло, що з вищесформульованих визначень випливає, що між повним, тангенціальним та нормальним прискореннями є зв’язок

. (4.10)

Крім цього вектор тангенціального прискорення є перпендикулярним до вектора нормального прискорення (див. рис. 4.1). Це означає, що модулі цих прискорень пов’язані між собою співвідношенням

. (4.11)

2. З’ясуємо, як пов’язана швидкість тіла, яке рухається по криволінійній траєкторії, з тангенціальним та нормальним прискореннями.

Введемо одиничний вектор , який пов’язаний з тілом і направлений за дотичною до траєкторії у напрямку руху тіла (див. рис. 4.1). Зрозуміло, що є змінним вектором, у різних точках траєкторії він буде мати різний напрямок (модуль цього вектора залишається постійним і таким, що дорівнює одиниці). Вектор швидкості тіла також направлений за дотичною до траєкторії (див. рис. 4.1). Тому його можна подати у вигляді

, (4.10)

де – модуль вектора швидкості. Підставимо (4.10) у визначення прискорення (4.1) і отримаємо

. (4.11)

Аналізуючи співвідношення (4.11), бачимо, що перший доданок у правій частині (4.11) має напрямок, який паралельний , тобто є паралельним дотичній. Це означає, що ця компонента повного прискорення, відповідно до визначення, є тангенціальним прискоренням

. (4.12)

Рисунок 4.2

Тепер розглянемо другий доданок у (4.11). Знайдемо похідну

.

Для цього розглянемо рисунок 4.2. У точках 1 та 2 напрямки швидкості тіла визначаються векторами та . Побудуємо перпендикуляри до дотичних в точках 1 та 2. Ці перпендикуляри перетнуться в деякій точці і кут між ними буде дорівнювати . Кут між векторами та буде теж дорівнювати . Модуль вектора , як це випливає з рис. 4.2, дорівнює

.

Тут використали відому формулу, що коли , то . Тоді

.

Зрозуміло, що коли , то точки 1 і 2 будуть наближатись одна до одної і кут буде теж наближатися до нуля. Це означає, що в цьому випадку вектори та будуть збігатися, а вектор буде перпендикулярним до них, а отже, паралельним вектору – одиничному вектору, який перпендикулярний дотичній до траєкторії. Таким чином,

. (4.13)

Використаємо визначення радіуса кривизни кривої. Згідно з визначенням, радіусом кривизни називають величину, що дорівнює

, (4.14)

де є довжиною кривої між точками 1 та 2, на яку опирається кут (див. рис. 4.2). Тоді (4.13) можемо подати у вигляді

.

Тут окрім (4.14) використали те, що дорівнює модулю швидкості тіла. Тепер можемо записати другу компоненту (4.11) в дещо іншому вигляді. Зрозуміло, що ця компонента прискорення перпендикулярна дотичній до кривої і тому є за визначенням нормальним прискоренням

. (4.15)

Це прискорення часто ще називають доцентровим прискоренням тому, що коли тіло рухається по колу, то це прискорення завжди направлено до центра кола.

Таким чином,

. (4.16)