§74 Розподіл Больцмана [4]

1. Як відомо, тиск у полі сили тяжіння Землі змінюється з висотою згідно до формули (барометрична формула)

, (74.1)

де – тиск на висоті ; – тиск коли ; – молярна маса газу; – універсальна газова стала; – абсолютна температура; – прискорення вільного падіння. Змінимо у формулі (74.1) відношення , де – маса молекули, – стала Больцмана. Крім того, подамо тиск у вигляді . У результаті прийдемо до формули

.

Співвідношення (74.1) отримане для ізотермічної атмосфери. Тому у вищенаведеній формулі значення в обох частинах рівності однакове, так що у правій та лівій частинах рівняння можна скоротити. Таким чином, отримуємо

, (74.2)

де – концентрація молекул (тобто їх число в одиниці об'єму) на висоті ; концентрація молекул, коли .

Формула (74.2) описує розподіл молекул в ізотермічній атмосфері за висотою. З неї випливає, що зі зниженням температури концентрація молекул на висотах, які відмінні від нуля, зменшується, перетворюючись у нуль при . Це означає, що при абсолютному нулю всі молекули розміщувались б на поверхні Землі. З підвищенням температури залежність від стає більш слабкою, молекули виявляються розподіленими за висотою майже рівномірно. Така поведінка концентрації при зміні температури пояснюється тим, що вона відображає «протиборство» двох тенденцій: 1) притягування молекул до Землі (характеризується силою ) прагне розмістити їх на земній поверхні; 2) тепловий рух (характеризується енергією ) прагне розкидати молекули рівномірно за всіма висотами. При кожному конкретному розподілі молекул за висотою (при кожному значенні ) обидві тенденції врівноважують одна одну.

Вираз є потенціальною енергію молекули . Тому формулу (74.2) можна написати таким чином:

. (74.3)

Тут – концентрація молекул у тому місці, для якого прийнята такою, що дорівнює нулю; – концентрація молекул там, де потенціальна енергія молекули дорівнює . Л.Больцман довів, що формула (74.3) є справедливою у випадку потенціального силового поля будь-якої природи для сукупності будь-яких однакових частинок, які знаходяться у стані хаотичного теплового руху. У зв'язку із цим функцію (74.3) називають розподілом Больцмана. Таким чином, розподіл (74.2) являє собою окремий випадок більше загального розподілу (74.3).

Між розподілами Больцмана й Максвелла є велика подібність: і в тому і в іншому випадку основним множником є експонента, під знаком якої знаходиться відношення енергії молекули (в одному випадку потенціальної, в іншому – кінетичної) до величини , яка визначає середню енергію теплового руху молекул.

Візьмемо елементарний об'єм , який розміщено у точці з координатами . Відповідно до формули (74.3) у межах цього об'єму знаходиться число молекул або

. (74.4)

Ця формула виявляє ще більшу подібність із розподілом Максвелла і теж є розподілом Больцмана.

Тема 12 Явища перенесення §75 Довжина вільного пробігу молекул [8]

1. Середня швидкість теплового руху молекул газу визначається формулою . Уже при кімнатній температурі вона має порядок швидкості кулі рушниці. Наприклад, при 0°С для молекул водню, азоту й кисню ця швидкість дорівнює відповідно 1700 м/с, 455 м/с і 425 м/с. На ранній стадії розвитку кінетичної теорії газів настільки великі значення швидкостей молекул деяким фізикам здавалися неможливими. Якщо швидкості молекул дійсно такі великі – говорили вони, – то запах пахучої речовини повинен був би поширюватися від одного кінця кімнати до іншого практично миттєво. Насправді за умови відсутності конвективних потоків повітря час поширення запаху на такі відстані може становити багато хвилин й навіть години. Поширення запаху здійснюється за допомогою повільного процесу дифузії.

Повільність дифузії й аналогічних їм явищ Клаузіус пояснив зіткненнями молекул. Молекула газу не увесь час рухається вільно, а час від часу має зіткнення з іншими молекулами. Вільно вона пролітає тільки коротку відстань від одного зіткнення до наступного. У момент зіткнення швидкість молекули різко змінюється як за модулем, так і за напрямком. У результаті траєкторія молекули є не прямою, а ламаною лінією з великою кількістю ланок. Молекула безладно метається туди й сюди, і її загальне просування вперед відбувається порівняно повільно. Для кількісного опису явища Клаузіус увів поняття середньої довжини вільного пробігу, тобто середньої відстані, що пролітає молекула від одного зіткнення до наступного.

2. Для обчислення середньої довжини вільного пробігу будемо користуватися моделлю твердих куль. Між зіткненнями молекули кулі рухаються за інерцією прямолінійно й рівномірно. У моменти зіткнень між молекулами розвиваються дуже великі сили відштовхування, що змінюють їх швидкості за величиною й напрямком. Зрозуміло, така груба модель передає далеко не всі риси явищ, які відбуваються при зіткненнях. Молекули можуть розпадатися й з'єднуватися. Атоми можуть іонізуватися, переходити в збуджені стани й т.д. Все це залишимо зараз без уваги. Модель твердих куль може приблизно вірно описати тільки процеси розсіювання молекул, у яких відбуваються зміни швидкості й напрямку руху цих частинок у результаті зіткнень їх між собою й зі стінками посудини, у якому знаходиться газ.

Рисунок 75.1

Для спрощення розрахунку припустимо, що рухається тільки одна молекула з сталою швидкістю , а всі інші молекули є нерухомими. Будемо називати молекулу, яка рухається, молекулою . Уявимо, що з молекулою жорстко зв'язана концентрична з нею тверда сфера удвічі більшого діаметра. Назвемо цю сферу сферою огородження молекули . У момент зіткнення відстань між центрами молекул, що зіштовхуються, дорівнює діаметру молекули d. Отже, у цей момент центр нерухомої молекули, з якої зіштовхнулася молекула , виявиться на поверхні сфери огородження останньої. Очевидно, він не може проникнути усередину цієї сфери. Між двома послідовними зіткненнями молекули її сфера огородження описує циліндр, довжина якого і є вільний пробіг молекули . З таких циліндрів складається поверхня, що описується з часом сферою огородження (рис. 75.1). Для стислості будемо називати цю поверхню ламаним циліндром. Якщо центр іншої молекули лежить усередині або на бічній поверхні цього циліндра, то вона зіштовхнеться з молекулою  . У противному випадку зіткнення не відбудеться. Нехай – об'єм ламаного циліндра, що описується сферою за час . Число зіткнень молекули, що рухається, з іншими молекулами за цей час дорівнює середньому числу останніх в об'ємі , , де – число молекул в одиниці об'єму. Ми припускаємо, що середня довжина вільного пробігу дуже велика у порівнянні з діаметром сфери огородження . Тоді можна знехтувати тими частинами об'єму , які приходяться на злами циліндра, тобто при обчисленні циліндр можна вважати прямим, а його висоту такою, що дорівнює добутку швидкості молекули на час . У цьому наближенні , де – площа поперечного перерізу циліндра. Отже, число зіткнень молекули, що рухається, з іншими молекулами за час дорівнює , а за одиницю часу

. (75.1)

Шлях, пройдений молекулою за час , дорівнює . Розділивши його на число зіткнень за цей же час, знайдемо середню довжину вільного пробігу молекули:

. (75.2)

Як правило, формули (75.1) і (75.2) не є точними, оскільки в основу їх доведення покладене припущення, що рухається тільки одна молекула, а всі інші нерухомі. Математично точний розрахунок було виконано Максвеллом з урахуванням максвеллівського розподілу молекул за швидкостями. Максвелл отримав:

(75.3)

. (75.4)

Як бачимо формули (75.3) та (75.4) суттєво залежать від величини . Площа перерізу сфери огородження по великому кругу отримала назву ефективного перетину молекули, точніше газокінетичним ефективним перетином молекули при розсіюванні її на інших молекулах. Якщо розсіювання відбувається на таких же самих молекулах, то ефективний перетин , де – діаметр молекули (мінімальна відстань, на яку зближуються молекули під час зіткнення). Зазначимо, що мінімальна відстань, на яку зближуються молекули, залежить від енергії (температури) молекул з якими відбувається зіткнення. Тому з підвищенням температури ефективний діаметр молекули зменшується.