§111 Потужність струму. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній і диференціальній формі [5]

1. Розглянемо довільну ділянку кола постійного струму, до кінців якого прикладена різниця потенціалів , в якій діють сторонні сили, що характеризуються ЕРС . За час через кожний перетин провідника проходить заряд . Це рівносильно тому, що заряд переноситься за час із одного кінця провідника в іншій. При цьому сили електростатичного поля й сторонні сили, що діють на даній ділянці, виконують роботу

. (111.1)

Розділивши роботу на час , за яке вона виконується, отримаємо потужність, що розвивається струмом на розглянутій ділянці кола:

. (111.2)

Ця потужність може витрачатися на здійснення розглянутою ділянкою кола роботи над зовнішніми тілами (для цього ділянка повинна переміщуватись у просторі), на протікання хімічних реакцій і, нарешті, на нагрівання цієї ділянки кола.

2. У випадку, коли провідник нерухомий і хімічні перетворення в ньому не виконуються, робота струму витрачається на збільшення внутрішньої енергії провідника, у результаті чого провідник нагрівається. Прийнято говорити, що при проходженні струму в провіднику виділяється тепло. Тоді, використовуючи (111.1) та закон Ома для неоднорідної ділянки кола , отримаємо

або . (111.3)

Коли сила струму змінюється з часом, то кількість тепла, що виділяється за час , обчислюється за формулою

. (111.4)

Рисунок 111.1

Співвідношення (111.4) було встановлено експериментально Джоулем і, незалежно від нього, Ленцем і носить назву закону Джоуля-Ленца (закон Джоуля-Ленца в інтегральній формі).

3. Від формули (111.4), що визначає тепло, яке виділяється в усьому провіднику, можна перейти до виразу, що характеризує виділення тепла в малому об’ємі провідника. Виділимо в провіднику елементарний об'єм у вигляді циліндра (див. рис. 111.1). Відповідно до закону Джоуля – Ленца за час у цьому об'ємі виділиться тепло

(111.5)

( – величина елементарного об'єму, – опір провідника, – сила струму). Розділивши вираз (111.5) на і , знайдемо кількість тепла, що виділяється в одиниці об'єму в одиницю часу:

. (111.6)

Величину називають питомою тепловою потужністю струму. Формула (111.6) являє собою диференціальну форму закону Джоуля–Ленца.

§112 Процеси встановлення струму під час заряду і розряду конденсатора [9]

Рисунок 112.1

1. Припустимо, що миттєве значення струму однакове у всіх поперечних перерізах провідника, що з'єднує обкладки конденсатора, а миттєве електричне поле таке саме, як в електростатиці при тих же зарядах на обкладках конденсатора. Струми й поля, що задовольняють цим умовам, називають квазистаціонарними.

Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при розрядженні конденсатора.

Якщо обкладки конденсатора з зарядом у початковий момент часу з'єднати провідником з опором , то по провіднику пройде струм (див. рис. 112.1). Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.1). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює

. (112.1)

Тут враховано, що на цій ділянці ; та – потенціали відповідно пластин 1 та 2 (див. рис. 112.1). З іншого боку, згідно з означенням ємності конденсатора

, або , (112.2)

де – заряд на пластині 1 конденсатора. Також зазначимо, що виходячи з означення сили електричного струму

, (112.3)

де – кількість заряду, що пройшла через поперечний переріз провідника за час . Із закону збереження електричного заряду випливає, що . Тобто коли сила струму буде додатною, то заряд на пластині 1 конденсатора буде зменшуватися (тобто буде від’ємним), саме цим міркуванням обумовлений знак «–» у формулі (112.3).

Далі підставляємо (112.2) та (112.3) в (112.1) і отримуємо

.

Звідси,

, або .

З отриманих формул знаходимо, що заряд на конденсаторі змінюється з часом за законом

, (112.4)

де – початкове значення заряду конденсатора, а – стала:

, (112.5)

що має розмірність часу. Вона називається часом релаксації. Через час заряд конденсатора зменшується в раз. Тому за порядком величини дорівнює часу, протягом якого конденсатор розрядиться.

Використовуючи формулу (112.3) та (112.4), знаходимо закон зміни струму з часом:

, (112.6)

де – початкове значення струму, тобто струм при .

2. Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при зарядженні конденсатора.

Рисунок 112.2

Це завдання вирішується аналогічно до вищевикладеного. Нехай у коло конденсатора з опором включено джерело струму з постійною електрорушійною силою (див. рис. 112.2). Після замикання ключа джерело збуджує струм, що заряджає конденсатор. Електричні заряди, що з’являються на обкладках конденсатора перешкоджають проходженню струму й зменшують його.

Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.2). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює

. (112.7)

Тут та – потенціали відповідно пластин 1 та 2 (див. рис. 112.2). Різницю потенціалів знаходимо аналогічно як і в (112.2) , де – заряд на пластині 1 конденсатора. Стум на опорі і заряд на пластині 1 конденсатора пов’язані співвідношенням (112.3) . Також тут потрібно звернути увагу не те, що джерело струму у випадку рис. 112.2 включено так, що діє у напрямку, протилежному напрямку обходу контура (напрямок обходу тут вибрано проти годинникової стрілки, напрямок сили струму збігається з напрямком обходу). Тому у співвідношення (112.7) потрібно підставити ЕРС із знаком «–»: . Також у (112.7) підставляємо різницю потенціалів і силу струму і отримуємо

.

Це рівняння можемо перетворити

. (112.8)

Співвідношення (112.8) є неоднорідним диференціальним рівняння. Воно зводиться до однорідного, якщо його записати у вигляді

.

Розділяючи змінні, отримаємо

або .

Тут використали, що в момент часу заряд на конденсаторі дорівнював нулю. Далі отримуємо шукану залежність заряду конденсатора від часу

. (112.9)

При заряд прямує до граничного значення .

Для електричного струму залежність від часу отримуємо, виходячи з (112.3),

. (112.10)

Знак «–» говорить про те, що струм у контурі (див. рис. 112.2) проходить у зворотному напрямку до обходу контуру. Струм максимальний у початковий момент і дорівнює . Далі він зменшується за експонентним законом.