Данные тождества являются основой при построении цифровых устройств, реализующих различные логические функции
Одна из часто употребляемых логических функций носит название суммирование по модулю 2 и обозначается знаком и выполняется по следующим правилам:
0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0
Замечательной особенностью алгебры-логики является ограниченное число возможных функций. Поскольку каждый аргумент может принимать лишь одно из двух значений (0 или 1), то число возможных комбинаций n аргументов составит:
.
Такому числу комбинаций будет соответствовать следующее число логических функций:
.
Например, когда число аргументов n= 2, получим 16 различных логических функций.
В табл. 2.3 приведены все возможные логические функции двух аргументов. С помощью этих функций можно построить сколь угодно сложные функции многих аргументов, а на их основе – цифровые устройства от логических элементов до микропроцессорных систем.
Таблица 2.3
Логические функции двух аргументов
2.4. Простейшие логические элементы
Выполнение основных логических функций булевой алгебры осуществляется логическими элементами, условное изображение которых приведено на рис. 2.1. Для отображения функционирования элементов составляются таблицы истинности, которые также приведены на рис. 2.1. Таблицы отражают однозначную связь между состояниями входов и выходов элементов соответственно.
Рис.2.1. Условные графические обозначения и таблицы истинности конъюнктора (а), дизъюнктора (б), инвертора (в)
2.5. Функционально полный набор
Из таблицы 2.3. видно, что любую функцию можно выразить через три основные функции булевой алгебры. Это, в свою очередь, позволяет реализовать многовходовые элементы на основе двухвходовых.
Набор функций, достаточный для построения любой сколь угодно cложной функции, называется функционально-полной системой логических функций, а соответствующий набор элементов – функционально-полным набором логических элементов (ФПН). ФПН являются наборы, состоящие из конъюнктора, дизъюнктора и инвертора. Такой набор может состоять из двух элементов или даже одного. Примерами могут служить представленные на рис.2.2 элементы Пирса и Шеффера, последний из которых является базисным элементом цифровых интегральных микросхем, выполненных на основе транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ).
Рис.2.2. Элемент Шеффера (И-НЕ) (а), элемент Пирса (ИЛИ-НЕ) (б), реализация на элементах Шеффера инвертора (в) и конъюнктора (г)
Отметим, что элементы Пирса и Шеффера являются двухступенчатыми логическими элементами, т.к. каждый выполняет две простые функции.
Вопросы и упражнения
2.1. Для чего предназначено кодирование цифровой информации?
2.2. Представьте числа (А) = 305 и (В) = – 35 в прямом, обратном и дополнительном двоичном кодах.
2.3. Дайте определения и составьте таблицы представления чисел в двоично-десятичных кодах 5221 и 4421.
2.4. Назовите основные логические функции и элементы, их реализующие.
2.5. Дайте определение ФПН логических элементов.
2.6. Напишите таблицу истинности трехвходового элемента Шеффера.
2.7. Определите общее число логических функций трех аргументов.
2.8. Приведите правила суммирования по модулю два.
2.9. Составьте таблицу истинности для трехвходового элемента Пирса.
2.10. Исследуйте функциональную полноту набора логических элементов, реализующих функции неравнозначности и дизъюнкции.
ТЕМА 2. ЦИФРОВЫЕ УСТРОЙСТВА КОМБИНАЦИОННОГО ТИПА
Лекция 3. Цифровые устройства комбинационного типа
Теоретические основы синтеза цифровых устройств. Основы проектирования цифровых устройств. Влияние задержек в логических элементах на функционирование ЦУ. Временные диаграммы.
3.1. Основы синтеза цифровых устройств без памяти
Цифровые устройства, состояние выходов которых зависит только от состояний их входов в данный тактовый момент времени, носят название комбинационных цифровых устройств (КЦУ).
Схемотехника КЦУ основана на совокупности логических элементов, составляющих функционально полный набор. Типичными КЦУ являются: кодопреобразователи (шифраторы и дешифраторы), цифровые компараторы, мультиплексоры.
Состязания сигналов
Проектирование КЦУ проводится на основе математического аппарата булевой алгебры, а это означает, что такой важный параметр, как время (t) не учитывается. Таким образом, не учитываются физические процессы, происходящие в реальных схемах. В логических элементах имеются задержки распространения сигналов, что приводит к нарушению функциональной надежности устройств во время переходных процессов. Задержками обусловлены «состязания» сигналов, которые вызывают неустойчивую работу цифровых устройств. Таким образом, возникает техническое противоречие между математическим моделированием устройств и их реальным функционированием. Состязания сигналов подразделяются на статические и динамические. Состязания называются статическими, если для двух последовательных состояний входов состояние выхода должно остаться неизменным.