8. Исследование функций и построение их графиков.

8.1. Условие постоянства функции.

Теор.8.1. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была постоянной на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) постоянная на , то для .

Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. значения функции в двух любых точках интервала совпадают, следовательно, .

8.2. Условия монотонности функции.

Теор.8.2.1. Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для . Для того, чтобы функция была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то для любых , при выполняется .

Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. монотонно возрастает на .

Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

В случае, рассмотренном в Теор.8.2.1, мы не исключаем для функции возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале ( и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:

Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. для ;

2. не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.

Док-во. Необходимость. Если f(x) строго возрастает, то, по теор.8.2.1 для ; при этом не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае по теор.8.1 была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.

Достаточность. Если выполняются условия теоремы, то, по теор.8.2.1, f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек и интервала значения функции равны: . Тогда, вследствие неубывания f(x), для , т.е. постоянна на на этом интервале, что противоречит второму условию теоремы.

Случай строгого убывания рассматривается аналогично.

8.3. Экстремумы функции, необходимое условие.

В разделе 7.1. Теорема Ферма мы определили понятия локальных минимума, максимума (общее название - экстремумы) функции, и доказали, что если в точке внутреннего экстремума функции существует производная , то . Таким образом получаем

8.3.1. Необходимое условие экстремума. Если во внутренней точке х области определения дифференцируемая функция имеет экстремум, то .

Это условие не является достаточным. Так, функция в точке имеет нулевую производную, но не имеет экстремума. Экстремум может также реализоваться в точке, в которой производная не существует (пример - функция , график справа). Введём термины, которые описывают точки, в которых может реализоваться экстремум функции .

Опр.8.3.1. Точка области определения функции называется критической точкой первого рода этой функции, если: 1. в окрестности этой точки функция непрерывна; 2. в проколотой окрестности - дифференцируема; 3. в самой точке (конечная) производная функции равна нулю или не существует.

Опр.8.3.2. Критическая точка первого рода функции , в которой производная равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.

Из изложенного следует, что внутренняя точка области определения дифференцируемой (во всех точках , за исключением, возможно, конечного их числа) функции может быть точкой локального экстремума тогда и только тогда, когда эта точка является критической точкой первого рода этой функции. Критичность точки есть необходимое, но недостаточное условие экстремума функции.