7.6. Раскрытие неопределённостей с помощью правила Лопиталя.

Сравнение скорости роста логарифмической, степенной и показательной

функций при .

Ниже приводятся примеры применения правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей. Подчеркнём, что в теоремах Лопиталя предполагается существование предела отношения производных, поэтому бессмысленно пытаться применить это правило к раскрытию, например, следующей неопределённости:

, и предела в правой части не существует. В тоже время эта неопределённость легко раскрывается элементарными методами:

.

7.6.1. Неопределённость .

1. .

2. .

3. Если правило Лопиталя снова приводит к неопределённости, оно может применяться неоднократно. При этом допустимы упрощения полученных выражений, сокращение общих множителей, использование известных пределов и т.д.:

7.6.2. Неопределённость .

4.

В следующих двух примерах мы сравним скорость роста при логарифмической , степенной и показательной функций:

5. .

6. Предел найдём вначале в случае, когда - натуральное число. Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

.

Пусть теперь b - произвольное вещественное число, b >0. Тогда n = E(b) b< n+1,

. Переходим к пределу при . Пределы отношений, стоящих слева и справа, равны нулю; по теор.4.4.6 о пределе промежуточной функции .

Вывод: при = о( ), =о( ) ( ), т.е. при ББ функция имеет более высокий порядок роста, чем ББ функции и ; ББ функция имеет более высокий порядок роста, чем ББ функция .

7.6.3. Неопределённость как и в разделе 4.5.3.2. легко свести к неопределённости или : пусть f(x), g(x)0 при ха. Тогда представление даст неопределённость , представление даст неопределённость . Пример:

7.

8. .

7.6.4. Неопределённость также можно свести к предыдущим случаям: если f(x), g(x) при ха, то ; дробь даёт неопределённость , если , получаем неопределённость , в других случаях неопределённость отсутствует. Можно представить в виде , что даст неопределённость . Но, как и в разделе 4.5.3.4., цель можно достичь проще:

9. Здесь мы применили правило Лопиталя только ко второму пределу-сомножителю.

7.6.5. Показательно-степенные неопределённости с помощью представления приводятся к неопределённостям :

10. Найдём предел, стоящий в показатели степени: , так что исходный предел

7.7. Формула Тейлора.

7.7.1. Формула Тейлора для многочленов. Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х: . Требуется представить функцию Р₃(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда

Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р₃(x). Действительно, если , то а₀ = Р₃ (-2) = 3(-2)³-4(-2) ²+5=

=-11 (первые три слагаемых в правом представлении при подстановке х = -2 обращаются в нуль). Дифференцируя Р₃(x), получим . Подстановка в это равенство х = -2 даёт а₁ = Р₃'(-2) = 9(-2) ²-4= 32. Находим Р''₃ (x): , откуда при х = -2 получим . Находим Р₃'''(x):

, откуда .

Рассмотрим эту задачу в общем случае: пусть

выразим коэффициенты этого многочлена через его производные в точке х₀. Взяв х = х₀, получим . Дифференцируем :

Следовательно, . Находим вторую производную :

Следовательно, . Находим третью производную :

Следовательно, . Далее, находя четвёртую производную, получим и т.д. Окончательно: , i = 0,1,2,…,n, и

Эта формула и называется формулой Тейлора для многочленов. (Под производной функции f(x) нулевого порядка понимается сама функция f(x); напомним, что 0! = 1 по определению).

7.7.2. Формула Тейлора для произвольной функции. Пусть теперь f(x) - произвольная функция, которая в точке х₀ имеет производные всех порядков до n-го включительно. Построим с помощью производных этой функции многочлен Тейлора n-ой степени:

Значения этого многочлена и его производных до n-го порядка в точке х₀ совпадают с производными функции f(x): = f(x₀), , однако, если f(x) - произвольная функция, мы не можем утверждать, что ; многочлен лишь даёт некоторое приближение к f(x). Разность

называется остаточным членом формулы Тейлора и характеризует погрешность этого приближения. Функция R_n(x) обладает тем свойством, что и сама R_n(x), и все её производные вплоть до n-го порядка в точке х₀ равны нулю. Оценить эту функцию можно различными способами; мы рассмотрим две наиболее часто применяемые формы представления этой функции.