8.6. Асимптоты графика функции.

Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

Опр.8.6.1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен или .

Из этого определения следует, что прямая может быть вертикальной асимптотой графика функции только в случае, когда точка - точка разрыва второго рода этой функции.

Опр.8.6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если функцию можно представить в виде , где при (или , или ).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, соответствующая случаю . Из определения наклонной асимптоты следует, что прямая будет горизонтальной асимптотой графика функции , если при (или , или ) функция .

График функции может приближаться к своей асимптоте, оставаясь

выше её ниже её колеблясь вокруг её

Если условия определения наклонной (или горизонтальной) асимптоты выполняются при , будем называть эту асимптоту односторонней левой (или левосторонней, или просто левой); если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту односторонней правой (или правосторонней, правой); в случае, если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту двусторонней (или просто асимптотой, не уточняя направления).

Условия существования наклонной (и, как следствие, горизонтальной) асимптоты даёт следующая теорема, которую мы сформулируем и докажем для случая (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Теор.8.6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

Док-во. Необходимость. Пусть прямая - наклонная асимптота графика функции при , т.е., согласно определению, , где при . Тогда . Переходим к пределу при . , следовательно, . С другой стороны, в этом случае , и так как существует предел правой части этого равенства, то существует и предел левой части, и .

Достаточность. Пусть два указанных предела существуют, тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её пределом) ( - БМ при ), т.е. прямая - действительно наклонная асимптота графика функции при .

Примеры: найти асимптоты графиков функций

Так как , , прямая - вертикальная асимптота графика этой функции. Для определения наклонных асимптот ищем : . Таким образом, если наклонные асимптоты существуют, то . Находим : . Итак, прямая - двусторонняя наклонная асимптота. График функции и её асимптоты приведены на рисунке справа.