3. Вычисление пределов, содержащих иррациональность.

Пример 3.1. Вычислить .

Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Далее необходимо воспользоваться формулой . Получим

Пример 3.2. Вычислить .

Имеем

.

Пример 3.3. Вычислить .

.

Пример 3.4. Найти .

Имеет место неопределённость . Под знаком предела стоит выражение, содержащее корни третьей степени. Умножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы, затем воспользуемся формулой

.

Это позволит избавиться от иррациональности в числителе.

.

Пример 3.5. Вычислить .

Убеждаемся, что имеет место неопределённость . Умножим и разделим на выражение .

.

Получили неопределённость вида , рассмотренную в пункте 1. Необходимо выделить в числителе и в знаменателе дроби старшую степень. .

Пример 3.6.

, так как числитель –константа, а знаменатель – б.б. функция.

4. Первый замечательный предел.

Пример 4.1. Вычислить .

, так как .

Этот же пример можно было решить, используя таблицу эквивалентных б.м. функций: при . Тогда .

Пример 4.2. Вычислить .

, так как , или с использованием эквивалентности при : .

Пример 4.3. Вычислить .

, так как числитель – константа, а знаменатель – б.м. функция.

Пример 4.4. Вычислить .

, так как .

В примерах 4.3, 4.4 тоже можно было воспользоваться таблицей эквивалентных б.м. функций. Предлагаем читателю сделать это самостоятельно.

Пример 4.5. Вычислить .

.

Воспользовались отношением , а, следовательно, при .

Пример 4.6. Вычислить .

Так как , при , то

.

Пример 4.7. Найти .

В числителе воспользуемся формулой . Так как при , то получим

.

Пример 4.8. Найти .

Имеем , так как

, при .

Пример 4.9. Найти .

Нельзя сразу воспользоваться таблицей эквивалентных б.м. функций для , так как не является б.м. функцией при . Поэтому сначала применим формулу приведения . Далее, так как , при , то .

Пример 4.10. Найти .

Выполним замену переменной, обозначив , тогда и при , . Поэтому

.

Воспользовались формулой приведения и формулой .

Пример 4.11. Найти .

Сделаем замену переменной , тогда и при . Имеем

.

Применили формулы ,

и отношения эквивалентности , при .

Пример 4.12. Найти .

Так как при , то имеем

.

5. Второй замечательный предел.

Пример 5.1. Найти .

, так как .

Пример 5.2. Найти .

Воспользуемся следствием из второго замечательного предела.

,

так как .

Пример 5.3. Вычислить .

Имеет место неопределённость , воспользуемся вторым замечательным пределом . Умножим и разделим показатель степени на .

В результате получим , так как , а (см. п. 1).

Пример 5.4. Вычислить .

Для раскрытия неопределённости необходимо воспользоваться формулой . Разделим почленно числитель на знаменатель.

, так как .

Пример 5.5. Найти .

Имеет место неопределённость . Предварительно представим дробь в виде суммы числа 1 и б.м. функции при . Это можно сделать несколькими способами. Например,

или

.

Таким образом, . Умножим и разделим показатель степени на дробь . Получим,

, так как

и (поскольку степень числителя больше степени знаменателя ).

Пример 5.6. Найти .

Неопределённость вида раскроем, используя формулу .

.

, так как степень числителя больше степени знаменателя (см. п. 1).

Пример 5.7. Найти .

Выделим целую часть в основании степени:

. Тогда , так как и (степень числителя равна степени знаменателя).

Пример 5.8. Вычислить .

Имеет место неопределённость вида . Воспользуемся таблицей эквивалентных б.м. функций, согласно которой при . Тогда .

Пример 5.9. Найти .

По таблице эквивалентных б.м. функций и при . Следовательно,

.

Пример 5.10. Найти .

Воспользуемся таблицей эквивалентных б.м. функций: , , при . Тогда

.

Пример 5.11. Вычислить .

Имеем , так как при .