Производная функции.

Пусть функция y = определена в окрестности точки x₀,  приращение аргумента x,  приращение функции (рис 1а).

Определение 1. Производной функции в точке x₀ называется конечный предел , если он существует.

Производная функции в точке x₀ обозначается или . Через y или обозначают производную функции y = в точке x.

Замечание 1. Пусть предел в определении 1 равен +∞ (или – ∞). В этом случае говорят, что производная =+∞ (или – ∞).

Определение 2. Если для любого достаточно малого Δx выполняется равенство

,

где A  постоянная, α  бесконечно малая функция при Δx→0, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀ (см. рис. 1а). Величина A∙Δx называется дифферециалом функции f(x) в точке x₀ и обозначается символом df(x₀). Дифферециал функции y = f(x) в точке x обозначается символом dy.

Теорема 1. Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство

dy = f ′ (x) dx. (1)

В силу этой теоремы выражения “функция дифференцируема” и “функция имеет производную” означают одно и то же.

2. Таблица производных некоторых функций.

1. ( )	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.

3. Действия над дифференцируемыми функциями. Пусть С – постоянная, и - дифференцируемые функции. Тогда

1. (С f (x)) = С f  (x),

2. ,

3. ,

4. ,

Примеры.

1. Найти производную функций: а) у=х⁴, б) у = , в) у = , г) у = .

Решение. а) По формуле 4 таблицы при n = 4 имеем у = (х⁴) = 4 х³.

б) у = По формуле 4 таблицы при n = – 4 имеем у =(х^–4)= – 4 х^–5=

в) у = . По формуле 4 таблицы при n =5/3 имеем у=

г) у = Так как sin5 не зависит от x (т.е. sin5=const), то формуле (1) таблицы (sin5)=0. По свойству (1) имеем у′ = =

2. Найти производную функций: а) y=e^x + x² sinx, б)

Решение. а) По свойству (2) имеем у=(e^x) + (x² sinx). По формуле 6 таблицы и свойству (3) имеем у=e^x + (x²)sinx + x² (sinx) = e^x + 2x sinx + x² cosx.

б) По свойству (4) имеем

4. Дифференцирование сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке u, а функция u = g(x) имеет производную в точке u = g(x). Тогда сложная функция имеет производную в точке x, равную

. (2)

Примеры. 3) Найти производную функции y = ln (1 + x²).

Решение. Применим формулу (2), считая f (u) = ln u, u = g(x) = 1 + x². По формуле 6 таблицы (ln u)=1/ u. Следовательно, по формуле (2) y =

4) Найти dy, df (2), df (2) при dx=0.2, если y = ln (1 + x²).

Решение. По формуле (1) dy = f  (x) dx = При x = 2 имеем d f (2) =

При dx = 0,2 имеем

5. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции

задают параметрически функцию y = f(x) в окрестности точки x = , функции и имеют производные и в точке t. Тогда функция также имеет производную в точке x, и верна формула

. (3)

Пример. 5) x= sin 2t, y = tg 2t (– π ⁄ 4 < t < π ⁄ 4). Найти .

Решение. По формуле (3) имеем

6. Дифференцирование показательно-степенной функции. Для дифференцирования показательно-степенной функции y = , где и  дифференцируемые в точке функции, можно представить ее в виде

.

Затем дифференцировать ее как сложную функцию:

. (4)

Пример. 6) Найти производную функции y =

Решение. По формуле (4) имеем

7. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Пусть  дифференцируемая в точке x₀ функция, M₀  точка на графике этой функции с координатами x₀ и y₀= f(x₀),  угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M₀,  угол наклона касательной к оси абсцисс (рис 1а).

Геометрический смысл производной состоит в том, что f (x₀) = k.

Уравнение касательной к графику функции в точке M₀ имеет вид

. (5)

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции в этой точке.

Уравнение нормали к графику функции в точке M₀ (x₀ , y₀) имеет вид

. (6)

Замечание 2. Пусть =+∞ (или – ∞). Тогда касательная к графику функции в точке M₀ параллельна оси Оу, а уравнение касательной имеет вид х=x₀ (рис.1б).

Замечание 3. Если =0, то касательная к графику функции в точке M₀ параллельна оси Ох (рис.1в).

Рисунок 1

Пример. 7) Найти уравнения касательной и нормали к параболе y = x² в точке с абсциссой 2.

Решение. Пусть x₀=2, f(x) = x² . Тогда , f(x₀) = 4, f (x) = 2x, f (x₀) = 4. По формуле (5) получаем уравнение касательной: y – 4 = 4(x – 2) или y  4x + 4 = 0. По формуле (6) получаем уравнение нормали: 4(y – 4) + x – 2 = 0 или x + 4 y  18 = 0.

8. Производные высших порядков. Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого множества . Тогда ее производную можно рассматривать как функцию, определенную на множестве . В свою очередь функция может в некоторых точках множества иметь производную. В этом случае производной второго порядка (второй производной) называется производная от производной . Для второй производной функции в точке x применяются обозначения:

Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.

Производной первого порядка (или первой производной) считается .

Пример. 8) y = sin 3x. Найти производные 1-го, 2-го, 3-го порядков и y⁽³⁾(π).

Решение. y = 3 cos 3x, y = – 9sin 3x, y⁽³⁾ = – 27 cos 3x, y⁽³⁾(π) = – 27 cos 3π = 27.

Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

9. Правило Лопиталя. Это правило нахождения некоторых пределов функций при помощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть 1) функции f (x) и g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности^* точки а, 2) (или ), 3) g(x)  0 и g’(x)  0 в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и верно равенство

.

Замечание 4. Теорема верна и для случая а =  (+, – ).

Замечание 5. Теорема верна и для случая

Замечание 6. Из условий теоремы следует, что функция является неопределенностью вида при , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях раскрыть эти неопределенности.

Замечание 7. Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом. Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы является неопределенностью вида . Тогда правило Лопиталя применяется повторно к и т. д. Если после нескольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значение, то оно будет равно .

Примеры. 9) Найти предел

Решение. Функции f (x) = e^x – e^-x и g(x) = ln(1+x) удовлетворяют условиям 1) – 3) теоремы 2, причем имеет место неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:

10) Найти предел

Решение. Имеет место неопределенность вида . Применим правило Лопиталя.

Вновь имеет место неопределенность вида . Следуя замечанию 7, применим правило Лопиталя повторно. При этом замечаем, что , поэтому правило применяем только к функции :

11) Найти предел

Решение. Имеет место неопределенность вида . Применим правило Лопиталя.

Здесь правило Лопиталя применено два раза.

Замечание 8. Результат будет таким же и при любом положительном коэффициенте у показателя экспоненты и любом положительном показателе степени х. Этот факт неформально означает, что “экспоненциальная функция растет быстрее, чем степенная при х  + ”.

12) Найти предел

Решение. Имеет место неопределенность вида . Применим правило Лопиталя.

Здесь правило Лопиталя применено два раза.

Замечание 9. Результат будет таким же и при любых положительных показателях степеней х и lnx. Этот факт неформально означает, что “степенная функция растет быстрее, чем логарифмическая при х +”.