10. Промежутки монотонности функции.

Определение 3. Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке из области определения, если для любых из условия следует неравенство (соответственно ).

На рисунке 2а функция возрастает в интервалах (a, b), (c, d), убывает в (b, c ).

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция f(x) дифференцируема в промежутке и f (x)>0 ( f (x)<0 ) для всех , то f(x) возрастает (соответственно убывает) в промежутке X.

11. Экстремумы функции.

Определение 4. Точка x₀ называется точкой минимума (максимума) функции y=f(x), если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки x ≠x₀ этой окрестности f(x) > f(x₀) (соответственно f(x) < f(x₀)). Значение функции f(x₀) называется минимумом (соответственно максимумом).

На рисунке 2а b – точка минимума, c – точка максимума.

Под экстремумом понимается либо минимум, либо максимум.

Точка x₀ из области определения функции y=f(x), называется критической точкой, если либо f(x) дифференцируема в x₀ и f (x₀) = 0, либо f(x) не дифференцируема в x₀. На рис. 2б и 2в точка x₀ – критическая.

Рисунок 2

Необходимое условие экстремума. Если x₀  точка экстремума функции f (x), то она является критической точкой этой функции.

На рис. 2б критическая точка x₀ является точкой экстремума, а на рис. 2в критическая точка x₀ не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть x₀  критическая точка функции y=f(x). Если в некоторой окрестности точки x₀ слева от нее производная f (x) принимает один знак, а справа от нее  противоположный, то x₀ точка экстремума. При этом если слева f’(x)>0, справа f (x)<0, то x₀ точка максимума, в противном случае x₀ точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ производная f (x) принимает один знак, то x₀ не является точкой экстремума. Если к тому же f (x) непрерывна в x₀, то функция монотонна в этой окрестности (рис. 2в).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть f (x₀)=0 и существует f′′( x₀). Тогда если f ′′( x₀)>0, то x₀ точка максимума. Если же f ′′( x₀)<0, то x₀ точка минимума.

Этим достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

Правило нахождения точек экстремума и промежутков монотонности.

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти все критические точки функции f(x). Для этого найти производную, решить уравнение f (x)=0 и найти точки x из области определения, в которых f (x) не существует.

3) Разбить область определения критическими точками на промежутки и в них найти знаки производной.

4) В промежутках, где производная положительна, функция возрастает, а в промежутках, где производная отрицательна, функция убывает.

5) Точки экстремума ищем среди критических точек. Пусть x₀ – критическая точка. Если в интервале слева от x₀ производная положительна (отрицательна), а справа отрицательна (положительна), то x₀  точка максимума (минимума).

Замечание 10. Если в интервале слева и справа от x₀ производная имеет один и тот же знак, то x₀ не является точкой экстремума. При этом, если функция непрерывна в этой точке, то функция монотонна в целом в этих двух интервалах (рис 3а).

Рисунок 3

Пример. 13) Исследовать функцию на экстремум и монотонность.

Решение. 1) Область определения – множество всех действительных чисел R.

2)

Найдем критические точки. Решим уравнение y = 0: критическая. y не существует при x (x – 4) = 0 x = 0 или . Эти точки входят в область определения функции, следовательно, являются критическими.

3) Разобьем область определения R критическими точками 0, 2, 4 на интервалы (– ∞, 0), (0, 2), (2, 4), (4, +∞) (рис. 3а), в каждой из которых производная сохраняет знак. Найдем знаки производной в этих интервалах. Для этого выберем по одной точке из этих интервалов (например, –1 (– ∞, 0), 1 (0, 2), 3 (2, 4), 5 (4, +∞)) и определим знаки производной y в этих точках: y(1) < 0, y(1) < 0, y(3) > 0, y(5) > 0. Следовательно, y < 0 в интервалах (– ∞, 0), (0, 2) и y > 0 в интервалах (2, 4), (4, +∞).

4) Функция убывает в интервалах (– ∞, 0) и (0, 2), возрастает в интервалах (2, 4) и (4, +∞). Однако можно сделать более сильный вывод. В самом деле, в окрестностях критических точек x = 0 и x = 4 производная не меняет знака, значит, они не являются точками экстремума. В силу замечания 10 функция убывает в интервале (– ∞, 2) и возрастает в интервале (2, +∞). Заметим, что y(0) = – ∞, y(4) = +∞, следовательно, в точках (0, 0) и (4, 0) касательные параллельны оси Оу (рис.3б).

5) Критическая точка x = 2 является точкой минимума (рис. 3а).

На рисунке 3б изображен схематически график функции .

12. Направление выпуклости функции. Точки перегиба. Пусть функция y=f(x) имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.

Определение 5. Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции y=f(x), проведенной в любой точке M Г(Х), то функция или график функции называется выпуклым вниз (соответственно выпуклым вверх) в интервале X (рис. 4а).

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 4б,4в).

Рисунок 4

Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.

В некоторых учебных пособиях выпуклую вверх функцию называют выпуклой, а выпуклую вниз функцию  вогнутой. Мы будем также пользоваться этими терминами, когда это удобно.

Теорема 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале и в ней f  (x) > 0 (f (x) < 0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.

Необходимое условие точки перегиба. Если M₀ (x₀, f(x₀))  точка перегиба функции f(x), то либо и f (x₀) = 0, либо f (x₀) не существует (рис. 4б, 4в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет производную (может быть бесконечную) в точке x₀, существует вторая производная в проколотой окрестности точки x₀ и либо f (x₀) = 0, либо f (x₀) не существует. Тогда если при переходе через x₀ f (x) меняет знак, то (x₀, f(x₀)) является точкой перегиба.

Правило нахождения точек перегиба и промежутков выпуклости вверх и вниз.

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти f (x) и решить уравнение f (x) = 0 и найти точки x из области определения, в которых f (x) не существует.

3) Разбить область определения найденными в предыдущем пункте точками на промежутки и в них найти знаки второй производной.

4) Согласно теореме 4 в промежутках, где вторая производная положительна, функция выпукла вниз, а в промежутках, где вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх.

5) В соответствии с необходимым условием абсциссы точек перегиба нужно искать среди значений, найденных в пункте 2. Пусть x₀  такое значение. Если производная в точке x₀ (конечная или бесконечная) существует и в интервалах непосредственно слева и справа от x₀ вторая производная имеет разные знаки, то x₀  абсцисса точки перегиба.

Пример. 14) Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба.

Решение. 1) Функция определена при всех действительных значениях x, таких, что x^­­2-4 ­­ 0, т.е. x  2.

2) Найдем вторую производную.

Рисунок 5

y=0 при x = 0. y не существует при x = 2, но они не входят в область определения функции, поэтому они не могут быть абсциссами точек перегиба.

3) Разобьем область определения точкой x = 0 на интервалы (– ∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +∞), в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.

Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов. В точке x=-3 из интервала (– ∞, -2) y< 0, следовательно, y< 0 во всем интервале (– ∞, -2). Аналогично определяем, что y > 0 в интервалах (-2, 0) и (2, +∞), y < 0 в интервале (0, 2) (рис. 5а).

4) Функция выпукла вверх в интервалах (– ∞, -2), (0, 2), выпукла вниз в интервалах (-2, 0), (2, +∞).

5) В интервалах (-2, 0), (0, 2) y имеет разные знаки. Значит, (0, 0) является точкой перегиба функции.

На рисунке 5б приведен схематически график функции.

13. Асимптоты графика функции. Пусть M(x, y)  точка графика функции y=f(x). Будем говорить, что точка M бесконечно удаляется в бесконечность по графику, если она движется по графику так, что либо x → ± ∞, либо y→ ± ∞. При этом считаем, что функция определена в соответствующих множествах.

Определение 6. Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю (рис. 6а).

Вертикальная (горизонтальная) асимптота  это асимптота, параллельная оси Оу (соответственно Ох). Остальные асимптоты называются наклонными.

На рис. 6б и 6в прямые х = 2, х = 0 и х = 1 являются вертикальными асимптотами, прямая у = 1  горизонтальной, прямая у = х+2  наклонной.

Нахождение вертикальных асимптот. Если x₀ точка бесконечного разрыва функции y = f(x), то прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой. Например, если

то точка графика при y → ∞ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте x = x₀ с левой стороны (рис. 6в, x₀= 1).

Рисунок 6

Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен +∞ или ∞ (рис. 6в).

Нахождение горизонтальных асимптот. Если

при x →+ ∞ (или ∞),

то прямая y = y₀ является горизонтальной асимптотой при x →+ ∞ (или ∞).

Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

y= kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x →+∞ (∞) находят по формулам:

. (7)

Замечание 11. В формулах (7) подразумевается, что оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из них не существует, то наклонной асимптоты нет.

Замечание 12. Если пределы (7) конечны и k = 0, то график имеет горизонтальную асимптоту y= b при x →+ ∞ (или ∞). Поэтому если существует горизонтальная асимптота при x →+ ∞ (или ∞), то нет наклонной асимптоты при x →+ ∞ (или ∞).

Примеры. 15) Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка x = 2 является точкой разрыва функции. Найдем односторонние пределы функции в этой точке

Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой при у→ + ∞ и у→ ∞.