Простейшие свойства кольца

Пусть  кольцо. Укажем некоторые его простейшие свойства:

1) для любых и из в нем разрешимо уравнение .

Действительно, существует , прибавим к обеим частям уравнения , тогда получим , но , где  нулевой элемент , или . Обычно вместо пишут и называют этот элемент разностью и . По определению разности имеет место равенство .

2) .

Действительно, или , получим . Докажите, что .

3) (распределительный закон умножения относительно вычитания).

Д.: или , к обеим частям прибавим , получим .

Аналогично доказывается, что .

Следствие. , т.к. .

4) Пусть  кольцо с , тогда существует и выполняется равенство .

Действительно, или, учитывая, что и , будем иметь .

5) Докажите, что имеют место равенства для любых :

а) ; б) ; в) .

Подкольца. Пусть  кольцо.

О. Подмножество кольца называется его подкольцом, если само является кольцом относительно операций, определенных в кольце .

Теорема (критерий подкольца). Подмножество кольца тогда и только тогда является его подкольцом, если выполняются следующие два условия:

1) для любых и из и , т.е. операции сложения и умножения замкнуты на ;

2) .

Необходимость и достаточность условий теоремы очевидны, докажите самостоятельно.

Упр. 14. Дано  кольцо квадратных матриц с элементами из числового кольца . Матрицу вида , , называют диагональными, а матрицу вида  верхнетреугольной. Докажите, что: а) множество всех диагональных матриц ; б) множество всех верхнетреугольных матриц являются подкольцами кольца .

Упр. 15. Докажите, что множество образует кольцо.

Упр. 16. Образует ли кольцо множество отрицательных целых чисел с добавлением нуля?

Натуральные числа

В математике существуют два подхода к понятию множества натуральных чисел: при первом подходе считают натуральный ряд начинающимся с единицы , при втором подходе, в частности, в математической логике – начинающимся с нуля , и определяют аксиоматически, при этом обычно пользуются модификациями системы аксиом, предложенной итальянским математиком-логиком Пеано (1858-1932).

При первом подходе под системой натуральных чисел понимают алгебру , состоящую из некоторого множества , элементы которого называются натуральными числами, выделенного в элемента 1, бинарных операций (сложения) и (умножения), удовлетворяющих следующим условиям (аксиомам):

1. Для любого .

2. Для любых , если , то .

3. Для любых и выполняется равенство (слабая форма ассоциативности сложения).

4. Для любого .

5. Для любых из имеет место равенство (слабая форма дистрибутивности умножения относительно сложения).

6. (Аксиома индукции). Если  некоторое подмножество множества такое, что а) , б) для любого , если , то , тогда имеет место равенство .

При втором подходе под системой натуральных чисел понимают алгебру , состоящую из некоторого множества , элементы которого называются натуральными числами, выделенных в элементов 0 и 1, бинарных операций (сложения) и (умножения), удовлетворяющих следующим условиям [3]:

1. Для любого .

2. Для любых и из .

3. .

4. .

5. .

6) (Аксиома индукции). Если  некоторое подмножество множества такое, что а) , б) для любого , если , то , тогда имеет место .

Мы будем придерживаться первого подхода к системе натуральных чисел.