Отношение порядка на множестве натуральных чисел

О. Для натуральных чисел и говорят, что « меньше », и пишут , если существует натуральное число , что .

Говорят, что « меньше или равно », и пишут , если или .

Отношение, инверсное к отношению , обозначают символом , т.е. тогда и только тогда, когда .

Для отношения порядка выполняются следующие свойства:

1) система является вполне упорядоченным множеством, т.е. она линейно упорядочена и любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент;

2) для любых натуральных чисел и , если , то (свойство дискретности);

3) отношение монотонно относительно сложения и умножения, т.е. для любых натуральных чисел , и тогда и только тогда, когда и .

4) свойство архимедовости: для любых натуральных чисел и найдется такое натуральное число , что .

Отметим, что свойства натуральных чисел и вопросы, относящиеся к другим основным числовым системам, будут более детально изучены в специальной дисциплине «Числовые системы».

Целые числа

Натуральные числа используются для количественной характеристики совокупностей, состоящих из отдельных предметов, с их помощью можно характеризовать и другие явления, например, моменты времени. Но их недостаточно для практических потребностей, например, для измерения температуры.

В математике мы часто встречаемся с необходимостью нахождения решений разного рода уравнений. Но, если ограничиться лишь совокупностью натуральных чисел, то в ней неразрешимо даже простейшее уравнение такое, как . Но их недостаточно и для практических потребностей, например, для характеристики численных значений величины, меньших некоторого выбранного начала отчета и т.п. Поэтому возникает необходимость расширения множества натуральных чисел.

С точки зрения математики основным требованием такого расширения является то, чтобы в новом множестве было бы выполнимо действие, обратное сложению – вычитание.

Обозначим через множество натуральных чисел и введем новое множество символов вида для всевозможных и назовем их противоположными натуральным: .

О. Множеством целых чисел называется множество

,

т.е. множество, состоящее из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным.

Целые числа из называются иначе целыми отрицательными числами, а из  целыми неотрицательными. (Отметим, что для любого целого числа имеем .)

На множестве вводятся операции сложения и умножения и понятие модуля или абсолютной величины следующим образом.

О. Модулем целого числа , обозначаемым через , называется число

О. Для любых сумма определяется согласно следующим правилам:

1) Если , то в совпадает с суммой этих чисел, определенной в ;

2) ;

3) Если , то ;

4) При и , т.е. и или , возможны несколько случаев:

) , тогда ;

) , тогда , учитывая, что и ;

) , тогда (напомним, что , и ).

Из определения суммы в непосредственно следует, что сложение коммутативно. Можно доказать, что сложение подчиняется и ассоциативному закону.

Покажем, что во множестве целых чисел для любых разрешимо уравнение .

Действительно, решением является число или , , т.к. , причем такое число единственное. Число называют разностью чисел и .

Любое целое число принадлежит или , т.е. или , . Соответствующий числу знак назовем его знаком и будем обозначать , нулю приписывают любой из знаков + или . Тогда имеет место соотношение или .

Определим умножение знаков следующим образом:

; .

О. Для любых произведение определяется следующим образом:

1) если одно из чисел или равно нулю, то ;

2) в общем случае .

Согласно определению произведения знаков имеем .

Упр. 17. Доказать, что .

Можно доказать, что во множестве выполняются коммутативный и ассоциативный законы умножения и дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Таким образом, как отмечено выше, множество целых чисел является коммутативным кольцом с единицей.

Существует и другой подход к определению понятия целого числа.

О. Целым числом называют разность двух натуральных чисел, т.е. , где и произвольные натуральные числа.

Известно, что для натуральных чисел и всегда выполняется и причем только одно из трех соотношений:

1) существует натуральное число , что ;

2) существует натуральное число , что ;

3) .

В первом случае во множестве определено и равно , т.е. . Во втором случае во множестве не определено, обозначим эту разность через и назовем его числом, противоположным . В третьем случае разность обозначим символом 0 (нуль).

Таким образом, получим новое множество чисел, состоящее из натуральных чисел, противоположных натуральным и нуля. Это множество назовем множеством целых чисел.

При таком подходе довольно просто определяются операции сложения и умножения целых чисел, но возникают трудности другого характера, связанные с тем, что одно и то же число может быть представлено в виде разностей различных пар чисел, например, число 3 можно представить в виде разностей 6-3, 12-9, 23-20 и т.д., -5 – в виде 5-10, 20-15, 95-100 и т.д.

Мы будем придерживаться первого подхода к определению целого числа.