Кольцо классов вычетов целых чисел по данному модулю

Ограничимся случаем, когда .

О. Пусть даны два целых числа и . Говорят, что они сравнимы по модулю 6 и пишут , если они при делении на 6 дают один и тот же остаток.

Нетрудно проверить, что если числа и при делении на 6 дают один и тот же остаток, то их разность делится на 6.

Отношение сравнимости целых чисел является отношением эквивалентности, т.е. выполняются следующие свойства:

1) - рефлексивность;

2) если , то - симметричность;

3) если и , то - транзитивность.

По теореме об эквивалентности множество целых чисел разобьется на непустые непересекающиеся классы, равноостаточные при делении на шесть чисел. Так как при делении на 6 остатками могут быть лишь числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, то соответственно мы и получим шесть классов чисел, которые принято обозначать через или и называть классами вычетов по модулю шесть, а само множество этих классов – через .

Упр. 20. Какому из классов вычетов принадлежат числа 142 и -142?

На множестве вводятся операции сложения и умножения следующим образом: под суммой классов и будем понимать класс , а под их произведением – класс .

Проверьте, что таким образом определенные операции являются алгебраическими на множестве , т.е. сумма и произведение классов не зависят от выбора компонент в классах.

Нетрудно проверить, что при таком определении операций сложения и умножения для выполняются все свойства коммутативного кольца с единицей (проверьте самостоятельно).

Таким образом, получили пример конечного числа.

Упр. 21. Заполните таблицу умножения классов.

Кольцо с делителями нуля

Пусть - произвольное кольцо, - его нулевой элемент.

О. Если в кольце существуют такие элементы и , неравные нулевому, а их произведение равно нулю, т.е. , то такие элементы кольца называют делителями нуля, а само кольцо – кольцом с делителями нуля.

О. Если же в кольце из равенства следует, что либо , либо , то такое кольцо называют кольцом без делителей нуля.

Например, кольцо целых чисел не имеет делителей нуля, а кольцо является кольцом с делителями нуля (найдите из таблицы делители нуля).

Замечание. Во множестве натуральных чисел выполняются почти все свойства кольца, за исключением наличия нуля и чисел, противоположных натуральным. Поэтому множество иногда называют полукольцом натуральных чисел.

Поле

О. Непустое множество с двумя алгебраическими операциями сложением (+) и умножением (·) называется полем, если является коммутативным кольцом с единицей, причем нулевой элемент и единичный элемент не совпадают, для каждого элемента существует в обратный ему элемент .

Отметим некоторые свойства поля.

1) Для любых элементов и из , где , в поле разрешимо уравнение .

Д. Существует , тогда или . Тогда , то .

2) В поле нет делителей нуля, т.е. из или .

Д. Пусть , тогда или , но , стало быть .

3) Множество ненулевых элементов поля образует группу по умножению (непосредственно следует из определения поля).

4) По определению всякое поле является кольцом, но не всякое кольцо является полем. Например, кольцо целых чисел не является полем (почему?).

Упр. 22. Докажите, что множество классов вычетов по модулю 5, т.е. , является полем, а по модулю 6 не является полем.