5. Інтегрування частинами

Формулою інтегрування частинами називається формула

,

де і - диференційовані функції від .

Для застосування даної формули підінтегральний вираз необхідно представити у вигляді добутку однієї функції на диференціал іншої.

Якщо під інтегралом знаходиться добуток логарифмічної або оберненої тригонометричної функції на многочлен, тобто інтеграли виду , , , , де - многочлен, то слід взяти .

Якщо під інтегралом знаходиться добуток тригонометричної або показникової функції на многочлен, тобто маємо інтеграли виду , , , де - многочлен, а - дійсне число, то за приймають многочлен , а за - вираз, що залишився..

Якщо під інтегралом знаходиться добуток тригонометричної на показникову функції, тобто інтеграли виду , , тоді необхідно двічі проінтегрувати частинами, вибираючи за ту ж саму функцію і виразити з лінійного рівняння, що отримаємо, шуканий інтеграл.

Використовуючи вищевикладене, обчислити наступні інтеграли.

Приклад 1

Згідно вищезазначеного, зробимо наступні позначення:

Тоді , згідно формули інтегрування частинами, матимемо

.

Приклад 2

Зробивши деякі перетворення, зробимо наступні позначення:

За формулою отримаємо

.

Приклад 3

Зважаючи на те, що під знаком інтеграла маємо многочлен другого степеня, доведеться застосувати формулу інтегрування частинами двічі. Спочатку зробимо наступні позначення:

Застосувавши формулу перший раз, отримаємо

Зробимо позначення, які будуть стосуватись лише інтеграла:

Провівши деякі перетворення, отримаємо

.

Приклад 4

Перетворивши вираз під інтегралом, зробимо наступні позначення:

Застосуємо формулу інтегрування частинами:

І остаточно

.

Приклад 5

Проведемо позначення, необхідні для застосування формули інтегрування частинами

Згідно формули

.

Приклад 6

Якщо - k, - дійсні числа, то після двократного застосування формули інтегрування частинами утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв’язуючи це рівняння знаходять інтеграл.

Отже

Звідси

.

Застосовуючи двократно формулу інтегрування частинами, обчислити інтеграли:

Приклад 7

Рекурентна формула

Інтеграл виду обчислюється за формулою:

- яка називається рекурентною і позначається .

Наприклад:

. Тому

.

Знайти інтеграли, застосувавши спочатку заміну змінної, а потім інтегрування частинами.

1. 2.

3.

4. 5.

Обчислити інтеграли виду , , , де P(x) – многочлен, k – число, за взявши множник P(x), за – вираз, що залишився:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

є)

ж)

Обчислити інтеграли виду , , , , , де P(x)- многочлен, взявши за :

а)

б)

в)

г)