Інтегрування тригонометричних і гіперболічних функцій
При інтегруванні тригонометричних
(гіперболічних) функцій часто застосовують
універсальну тригонометричну підстановку,
про яку буде йти мова пізніше (див. наст.
Параграф). Остання, раціоналізуючи
інтеграл виду
,
часто приводить до раціональних дробів
з великими степенями. Тому в багатьох
випадках користуються іншими підстановками.
Розглянемо деякі з них.
1.
раціоналізується підстановкою
.
2.
раціоналізується підстановкою
.
3.
раціоналізується підстановкою
.
4.
раціоналізується підстановкою
-
,
якщо функція
непарна
відносно
:
;
- або підстановкою , якщо функція непарна відносно :
;
- або підстановкою , якщо функція парна відносно і одночасно:
.
5.
знаходиться підстановкою
, якщо
- ціле додатне непарне число, або
підстановкою
, якщо
- ціле додатне непарне число, а також за
допомогою формул пониження степеня
, ,
якщо та - цілі додатні парні числа;
- коли ж і - цілі парні числа, але хоча б одне з них від’ємне, то даний інтеграл раціоналізується підстановкою ;
- така ж сама підстановка, , використовується у випадку , коли і - цілі непарні і від’ємні.
6. Інтеграли виду
,
,
,
обчислюються за допомогою тригонометричних
формул
,
,
.
Приклад 1
Враховуючи, що
,
отримаємо
Використовуючи інваріантність диференціала, тобто
,
та провівши заміну
матимемо
.
Приклад 2
Аналогічно попередньому прикладу
Проведемо наступну заміну
,
.
Отримаємо
І провівши зворотну заміну
.
Приклад 3
Згідно вищенаведеного, проведемо наступну заміну
,
,
.
Матимемо
Так як степінь чисельника більша за степінь знаменника, скористаємось для ділення схемою Горнера, і в результаті отримаємо
Скориставшись зворотною заміною, отримаємо
.
Приклад 4
Зважаючи на те, що підінтегральна функція є парною відносно та , проведемо заміну
, , ,
,
.
Отримаємо
Піднесемо чисельник підінтегральної функції до кубу та поділимо почленно на знаменник. В результаті матимемо
Після зворотної заміни остаточно отримаємо
.
Приклад 5
Скористаємось формулами пониження степеня
, .
В результаті отримаємо
Використаємо формулу пониження степеня ще раз
.
Приклад 6
Застосуємо до перших двох множників підінтегральної функції формулу переведення добутку тригонометричних функцій в суму:
.
Отримаємо
Використаємо наступну формулу
.
Матимемо
Остаточно отримаємо
.
Знайти інтеграли
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Гіперболічні функції
Знайти інтеграл
17.
18.
19.
20.
21.
