7. Інтегрування раціональних дробів

Інтегрування довільного раціонального дробу

з дійсними коефіцієнтами в загальному випадку проводиться таким чином.

1. Якщо , тобто дріб - неправильний, тоді слід спочатку виділити цілу частину, подавши його у вигляді

, , (*)

де і - многочлени степенів і відповідно, причому , тобто дріб - правильний.

2. Як випливає з формули (*), операція виділення цілої частини зводить інтегрування довільного раціонального дробу до інтегрування многочлена і правильного раціонального дробу.

Інтегрування правильного раціонального дробу , , за допомогою розкладу в суму найпростіших дробів зводиться до інтегрування дробів вигляду , , , , де - сталі, причому .

Для того, щоб подати правильний раціональний дріб у вигляді суми найпростіших дробів, спочатку треба розкласти знаменник дробу на прості множники, тобто подати у вигляді

,

де , а потім записати розклад

.

Коефіцієнти , і в розкладі (**) визначаються прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях у многочлена і многочлена, який одержується в чисельнику правої частини(**) після зведення її до спільного знаменника (метод невизначених коефіцієнтів).

Приклад 1

Інтеграл виду - де знаменник має тільки різні дійсні корені, то такого типу інтеграл розділяється на суму інтегралів :

Приклад:

Розв’яжемо систему і знайдемо А і В

Отже, отримаємо

І, остаточно

.

Приклад 2

Розкладемо знаменник на прості множники:

Зважаючи на те що знаменник має тільки різні дійсні корені, розкладемо інтеграл на суму інтегралів:

Інакше кажучи

Зводячи праву частину до спільного знаменника, отримаємо

Складемо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів

Розв’язавши дану систему лінійних рівнянь, отримаємо наступні значення

Враховуючи розклад підінтегрального виразу на прості дроби та значення невідомих коефіцієнтів отримаємо

Згідно правил інтегрування отримаємо

І остаточно

.

Приклад 3

Так як степінь чисельника більший за степінь знаменника, тобто маємо неправильний дріб, проведемо ділення за схемою Горнера:

Наш інтеграл прийме наступний вигляд

Розкладемо знаменник на прості множники. Легко бачити, що знаменник є розкладом за відомою формулою, тобто

Зважаючи на те, що в знаменнику маємо тричі кратний корінь , розклад підінтегрального дробу матиме вигляд

Зводячи праву частину до спільного знаменника, отримаємо

Складемо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів

Розв’язуючи дану систему рівнянь, отримаємо шукані невідомі коефіцієнти.

Тоді наш інтеграл прийме наступний вид:

Враховуючи інваріантність диференціала та правило інтегрування степеневої функції, остаточно отримаємо

.

Приклад 4

В знаменнику даного підінтегрального виразу маємо тричі кратний корінь , а також простий множник другого степеня. Тому наш підінтегральний вираз при розкладі на прості дроби прийме наступний вид:

Аналогічно до попереднього, зведемо праву частину до спільного знаменника

І далі, складемо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів:

Розв’язуючи систему лінійних рівнянь, наприклад методом виключень Гауса, отримаємо

Тобто наш інтеграл, враховуючи вищесказане, прийме вигляд

І остаточно

.

Приклад 5

Враховуючи все вищенаведене, розкладемо підінтегральний вираз на прості дроби:

Звівши до спільного знаменника, складемо систему для визначення невідомих коефіцієнтів:

Розв’язавши дану систему рівнянь, отримаємо

Підставляючи отримані значення в розклад підінтегральної функції, наш інтеграл прийме наступний вид:

.

Обчислити наступні інтеграли:

а) б)

в) г)

Знайти наступні інтеграли, виділивши цілу частину підінтегрального дробу.

1. 2.

3.

4. 5.

6.

Знайти наступні інтеграли:

1. Знаменник має тільки дійсні різні корені.

7. 8.

9.

10. 11.

12.

2) Знаменник має тільки дійсні корені; деякі корені – кратні.

13. 14.

15.

16. 17.

18. 19.

3) Знаменник має комплексі різні корені.

20. 21.

22. 23.

24.

25.

4) Знаменник має комплексні кратні корені.

26. 27.

28.

29. 30.

5) Метод Остроградського.

31. 32.

33.

34. 35.

36.