Порівняння двох середніх арифметичних

Порівняння середніх величин у варіаційному аналізі здійснюють шляхом обчислення критерію t за формулою:

(17)

при цьому обов’язково визначається і число ступенів свободи k за формулою:

(18)

Користуючись таблицею «Значення величини t при малому числі спостережень», знаходять імовірність даної різниці. Якщо вона досить велика, то робиться висновок про істотність розходження, тобто істотність впливу якогось фактору на зміну параметра (ознаки) підтверджується.

Бувають випадки, коли необхідно порівняти середню величину вибірки з середньою у генеральній сукупності, при цьому показник розсіювання у генеральній відомий. Тоді коефіцієнт t обчислюється за формулою:

(19)

Потім, за допомогою таблиці (тієї ж ), при ступені свободи k = ¥, знаходять імовірність того - істотна різниця між двома середніми чи ні. Якщо ця ймовірність велика, то гіпотеза про істотність розходження приймається, і, навпаки, – якщо мала, - то відкидається висхідне припущення.

Дисперсія ( ) і середнє квадратичне відхилення ( )

До цього ми користувалися показником середнього квадратичного відхилення ( ), не пояснивши його сутності. Але спочатку про дисперсію.

У якості міри варіативності результатів, що характеризують міру розсіювання окремих величин відносно середньої арифметичної, використовуються різні показники в залежності від характеру вимірів (дискретні чи безперервні ознаки). Для характеристики розсіювання величин інтервальних шкал та шкал відношення (для дискретних вимірів) користуються значенням середнього квадратичного відхилення і дисперсії.

Показники дисперсії дають узагальнюючу характеристику впливу індивідуально діючих причин: вони показують міру розсіювання, тобто ступінь варіації вимірюваних ознак навколо середнього значення, тобто типового рівня.

Дисперсія – це середнє арифметичне квадрату центральних відхилень від середнього. Ії формула:

, де (20)

- кількісний вираз кожного виміру ознаки;

- середнє арифметичне даної вибірки.

Слід зауважити, що у практичній варіаційний матстатистиці найчастіше використовують так зване середнє квадратичне відхилення ( ). Середнє квадратичне відхилення – це корінь квадратний з дисперсії:

(21)

При малих вибірках: ( ) у наведеній формулі замість n буде вираз n-1.

Покажемо це на умовному прикладі. Матеріали конкретного обстеження наведені в таблиці. Для зручності незгруповані показники теж занесені до таблиці.

Розрахунок дисперсії та середнього квадратичного відхилення,

при n=10.

№ п/п
1	13	0,2	0,04
2	17	-3,8	14,44
3	15	-1,8	3,24
4	11	2,2	4,84
5	13	0,2	0,04
6	11	2,2	4,84
7	17	-3,8	14,44
8	13	0,2	0,04
9	11	2,2	4,84
10	11	2,2	4,84

Рішення.

1. Розраховується середня арифметична величина і записується в колонку під таблицею.

2. Знаходиться відхилення кожного результату виміру від середнього арифметичного значення: .

3. Зводиться до квадрату винайдене значення відхилення кожного окремого результату від середнього: .

4. Сумується значення квадратів відхилень усіх результатів, отримана сума записується під таблицею: .

5. Ділиться сума квадратів відхилень на загальну кількість спостережень n і в підсумку виходить величина, яка називається дисперсією: . Весь цей розгорнутий алгоритм рішення компактно записаний формулою, що наведена вище в цьому параграфі.

6. Знаходиться корінь квадратний з дисперсії. Це і є величина стандартного, або середньоквадратичного відхилення: .

Якщо середня арифметична величина є центральною тенденцією вимірюваної ознаки, її стислою характеристикою, то середньоквадратичне відхилення вказує на міру розсіювання окремих інваріант досліджуваної вибірки.

Властивості показника достатньо вивчені. Це дозволяє широко використовувати його при оцінці результатів досліджень, одержаних у контрольній і експериментальній групах, якщо вони наведені в середніх величинах.

Розподіл показників, одержаних в емпіричних психологічних і психодіагностичних дослідженнях, при великій кількості спостережень, звичайно, наближається до нормального. Це такий вид теоретичного розподілу перемінних, який спостерігається при зміні ознаки (перемінної) під впливом багатьох відносно незалежних факторів. Графічне зображення нормального розподілу являє собою симетричну колоколоподібну криву, віссю симетрії якої є середня арифметична величина вимірюваної ознаки.

На практиці важливе значення має обчислення площі зліва від будь-якої крапки на осі абсцис, обмеженої ділянкою нормальної кривої та ординатою цієї крапки. Оскільки площа стандартного нормального розподілу дорівнює одиниці, то частка цієї площі відтворює частоту випадків з , меншу, ніж задане значення на осі Х.

У математичній статистиці використовується нормальний розподіл як стандартизація емпіричних вибірок з наступними характеристиками: ; площа під нормальною кривою дорівнює одиниці. Такий розподіл зветься нормальним. Для будь-якого нормального розподілу в межах знаходиться близько 68%, у межах – близько 95%, у межах – 99,7% площі під кривою. Кількість випадків у межах стандартного відхилення можна легко визначити без розрахунків: в інтервалі оцінок, що відповідають і , знаходиться 13,6% обстежених (дивись рисунок).

Нормальний розподіл від усіх інших можливих розподілів відрізняється певними властивостями: він однозначно описується двома параметрами – середньою арифметичною величиною і середньоквадратичним відхиленням , чи дисперсією .

Показник являє собою іменовану величину, виражену в тих самих одиницях виміру, що і варіанти розсіювання, які він вимірює.