- •1. Классическое определение вероятности. Непосредственное вычисление. Статистическая оценка вероятности.
- •2. Алгебра событий. Вероятность противоположного признака.
- •3. Условная вероятность. Зависимые и независимые признаки.
- •4. Вероятность произведения двух и более признаков.
- •5. Вероятность суммы двух и более слагаемых. Совместные и несовместные признаки.
- •6. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания
- •7.Геометрические вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.
- •8. Формулы полной вероятности и Байеса.
- •9. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •10. Формула Пуассона и локальная теорема Лапласа и их применение.
- •11.Интегральная теорема Лапласа. Работа с таблицами.
- •12.Понятие случайной величины. Дискретные величины. Ряд распределения вероятностей.
- •13. Математическое ожидание и его свойства.
- •14. Дисперсия и ее свойства.
- •15. Ковариация и ее свойства. Коррелированность и зависимость случайных величин.
- •16. Непрерывные случайные величины. Функция плотности. Примеры
- •17. Дисперсия и другие моменты непрерывно случайной величины
- •18. Функция распределения и ее свойства.
- •20. Устойчивость средних. Неравенство Чебышева.
- •21. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
- •22. Теорема Бернулли, усиленный закон больших чисел Бореля и Колмогорова.
- •Усиленный закон больших чисел
- •23. Центральная предельная теорема и интегральная теорема Лапласа
- •24. Совместное распределение случайных величин
- •25. Коэффициент корреляции и его свойства
- •28. Статистические оценки
- •29. Начальные и центральные моменты и их статистические оценки. Сходимость оценок.
- •31. Доверительные интервалы для дисперсии и среднего квадратичного отклонения
- •32. Проверка статических гипотез, гипотезы о средних.
- •34. Однофакторный дисперсионный анализ
- •35. Критерий согласия Пирсона, проверка гипотезы о законе распределения
- •36. Регрессия, как условная средняя. Оценка погрешности метода наименьших квадратов Суть метода наименьших квадратов (мнк).
- •Графическая иллюстрация метода наименьших квадратов (мнк).
- •37. Простая линейная регрессия.
- •38. Проверка значимости коэффициента регрессии по Фишеру и Стьюденту
- •39. Понятие о случайных процессах. Цепи Маркова и теорема Маркова.
- •40. Цепи Маркова. Предельные вероятности состояний
3. Условная вероятность. Зависимые и независимые признаки.
Вероятность Р(В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Ра(В), или Р(В/А).
Пусть из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытания событию А
благоприятствует m случаев, событию В — k случаев, а совместному появлению событий А и В т.е. событию АВ — l случаев (l<=k, l<=l). Тогда, согласно классическому определению вероятности, P(AB) = l/n.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.
Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е. РА(В) = Р(В). В противном случае, событие В называется зависимым от А. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.
4. Вероятность произведения двух и более признаков.
Р(АВ) = Р)А) • РА(В) = Р(В) • РВ(А). – Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.
Р(АBC...KL) = Р(А) * РА(В) * PАВ(C)…PABC..K(L) – обобщение для произвольного числа событий.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего
события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.
5. Вероятность суммы двух и более слагаемых. Совместные и несовместные признаки.
События А и В называются несовместными, если в результате испытания они никогда не могут наступить. Несовместные события не содержат в себе общих элементарных исходов.
События А и В называются совместными, если в результате испытания они могут наступить вместе. Совместные события содержат в себе общие элементарные исходы.
Теорема сложения вероятностей:
Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В+ ... + К) =Р(А) + Р(В) + ... + Р(К)
При решении ряда задач требуется найти вероятность суммы двух или нескольких совместных событий, т.е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий. В этом случае применять теорему сложения вероятностей в виде Р(А + В+ ... + К) =Р(А) + Р(В) + ... + Р(К) нельзя.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
В случае трех и более совместных событий соответствующая формула для вероятности суммы Р(А+В+...+К) весьма громоздка и проще перейти к противоположному событию. Тогда, вероятность суммы нескольких совместных событий А, В, ..., К равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий.