10. Формула Пуассона и локальная теорема Лапласа и их применение.
Предельные теоремы в схеме Бернулли
Использование формулы Бернулли при больших значениях n и m вызывает большие трудности, так как это связано с громоздкими вычислениями. Вычисление Pn(m) также вызывает затруднение также при малых значениях p (q). Возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления Pn(m), обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления биноминальной вероятности Pn(m) при n → ∞.
Теорема Пуассона
Теорема. Если число испытаний неограниченно увеличивается (n → ∞) и вероятность p наступления события A в каждом испытании неограниченно уменьшается (p → ∞) , но так, что их произведение np является постоянной величиной (np = a = const), то вероятность Pn(m) удовлетворяет предельному равенству
.
Данное выражение называется асимптотической формулой Пуассона.
Из предельного равенства при больших
n и малых m
вытекает приближенная формула
Пуассона Pn(m)
≈
,
где a = np,
m = 0, 1, 2, … .
Эту формулу применяют, когда вероятность p = const успеха крайне мала, т. е. сам по себе успех (появление события A) является редким событием, но количество испытаний n велико, среднее число успехов np = a незначительно. Приближенную формулу обычно используют, когда n ≥ 50, а np ≤ 10.
Формулу Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.
Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.
Поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим (пуассоновским) потоком.
Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий на участке времени длины τ зависит только от его длины (т. е. не зависит от начала его отсчета). Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, так называемая интенсивность λ потока, есть величина постоянная: λ(t) = λ.
Свойство ординарности означает, что событие появляется не группами, а по одиночке. Другими словами, вероятность появления более одного события на малый участок времени ∆t пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.
Свойство отсутствия последствия означает, что вероятность появления события k событий на любом участке времени длины τ не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом, не пересекающемся с ним участком (говорят: «будущее» потока не зависит от «прошлого»).
Можно доказать, что вероятность появления m событий простейшего потока за время продолжительностью t определяется формулой Пуассона
.
Локальная теорема и интегральная теорема Муавра-Лапласа
В тех случаях, когда число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю (p ≠ 0, p ≠ 1), для вычисления биноминальных вероятностей используют теоремы Муавра–Лапласа. Приедем только формулировки в силу сложности доказательства.
Теорема (Локальная теорема Муавра–Лапласа). Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Pn(m) может быть вычислена по приближенной формуле
, где
.
Равенство тем точнее, чем больше n.
Выражение
Называется функцией Гаусса, а ее график – кривой вероятностей.
Тогда можно представить равенство в виде
,
где
.
Для функции φ(x) составлены таблицы значений. Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:
а) функция φ(x) четная, т. е. φ(– x) = φ(x);
б) при x ≥ 4 можно считать, что φ(x) = 4;