11.Интегральная теорема Лапласа. Работа с таблицами.

Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность Р_n (k₁,k₂) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_n (k₁,k₂) того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно

равна определенному интегралу

Р_n (k₁,k₂) ~

Где (k₁ – np) / и = (k₂ – np) / .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. (Таблица в конце задачника Пантелеева). В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х<0 пользуются той же таблицей [Функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф(-х) = -Ф(х)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение так:

Р_n (k₁,k₂ ) ~ + =

= - = Ф(x’’)-Ф(x’)

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз

Р_n (k₁,k₂) ~ Ф(x’’)-Ф(x’),

Где (k₁ – np) / и = (k₂ – np) / .

12.Понятие случайной величины. Дискретные величины. Ряд распределения вероятностей.

Определение1. Величину Х, которая принимает свои значения с заданными вероятностями, называют случайной. Причем при каждом испытании Х принимает лишь одно случайно выделенное значение. Если при этом Х может принимать лишь конечное или счетное множество значений х₁, х₂,…,х_n,… соответственно с вероятностями р₁,р₂,…,р_n,.. ее называют дискретной, р₁+р₂+…+р_n+….=1.

Последнее равенство выражает тот факт, что любое значение величины Х непременно совпадает с одним из перечисленных и все другие значения для Х невозможны. Действительно, события А, что значение величины Х не совпадет с каким-либо из перечисленных х₁, х₂,…,х_n,… имеет вероятность Р(А)=1 – (р₁+р₂+…+р_n+…)=1-1=0 Нуль означает событие А невозможно.

Пример дискретной величины – длина Х спицы, извлекаемой из ящика для спиц. При этом длина Х, определяемая индивидуально для каждой спицы, была бы обычной функцией, если исключить случайный выбор. Извлекая спицу из ящика, мы производим случайный выбор, который и делает длину Х случайной величиной. Когда все спицы в ящике равнодоступны, вероятность извлечь какую-либо заранее помеченную спицу равна 1/n. Меж тем этот пример побуждает уточнить и обобщить понятие случайной величины посредством следующего определения.

Определение2. Функцию Х=Х(u) точки u, которая принадлежит U, определенную на вероятностном поле U, называют случайной величиной, если для всякого вещественного числа с равенством Х=с и неравенство Х < с являются признаками (событиями) и для них определены вероятности Р(Х=с) и Р(Х < с).

Определение3.Функцию вероятностей p_i = P(X=x_i) (i=1,2,…,n,..), определенную на множестве всех значений дискретной величины Х, называют распределением или, рядом распределения.

Этот ряд часто записывается в виде таблицы из двух строк. В первой строке перечисляются все значения Х, во второй соот.им вероятности.

Х = х₁, х₂,…,х_n,..

Р = р₁,р₂,…,р_n,..

Если значения дискретной величины Х составляют бесконечную последовательность х₁, х₂,…,х_n,.. попарно не совпадающих числе, то говорят, что случайная величина имеет счетное множество значений. При этом левая часть равенства р₁,р₂,…,р_n,.. =1 понимается уже как сумма бесконечного ряда.

График ряда распределения p_i = P(X=x_i) состоит из отдельных точек (x_i, p_i) с абциссой x_i и ординатой p_i. Расположив абциссы в порядке возрастания или убывания, соответствующие им пары точек можно соединить прямолинейными отрезками. Получаемую при этом ломаную называют полигоном. Прямолинейные отрезки не составляют части графика и служат лишь для лучшего обзора его точек.

Источник материала – задачник Пантелеева. А вот более простые определения для лучшего понимания.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.