§3. Обобщенные теоремы сложения и произведений

вероятностей совместных событий:

3.1. Вероятность появления хотя бы одного из событий

Рассмотрим примеры совместного использования теорем сложения и умножения. Пусть даны два независимых события и с вероятностями

и . Найдем вероятность появления только одного из них. Введем события и : событие наступило, а событие не наступило: . Аналогично определим и событие . Поскольку события и независимы, несовместны и события и , откуда следует:

.

3.2. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

События и называют совместными, если в одном и том же испытании при появлении одного из них не исключено появление другого. Для таких событий справедлива следующая теорема:

Теорема 5. Вероятность суммы совместных событий определяется по формуле

;

1. для независимых событий

;

2. для зависимых:

;

3. независимых

.

3.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события несовместны и образуют полную группу

.

Допустим, что события может наступить при условии появления одного из событий при известных и . Тогда вероятность события

Пример 10 . В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой 4 белых и 5 красных, во второй 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну.

Решение. Перекладывание из второй урны в первую белого шара( событие ) и красного шара( событие ) образуют полную группу событий. Их вероятности и . Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара(событие ) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны и . Тогда по формуле полной вероятности получим:

.

Приведем теперь формулу Байеса. Пусть события несовместны и образуют полную группу

.

Допустим, что событие может наступить при условии появления одного из них. События называют гипотезами, поскольку неизвестно, какое из них наступит. Тогда условные вероятности гипотез находят по формуле:

Пример 11. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0.08. После изготовления все изделия подвергаются проверке: изделия без брака признаются годными с вероятностью 0.95, а изделия с браком с вероятностью 0.06.Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а также вероятность того, что выпущенное изделие окажется без брака.

Решение. Введем гипотезы: изделие без брака; изделие с браком. Тогда событием будет признание изделия годным. . Тогда по формуле полной вероятности получим:

.

Для ответа на второй вопрос воспользуемся формулой

.

Раздел IV. Схема независимых испытаний.

§1. Формула Бернулли.

Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события в каждом испытании не зависит от числа других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события .

Будем рассматривать только такие испытания, в которых событие имеет одинаковую вероятность . Тогда вероятность противоположного события также постоянна и равна .

Представляет интерес, когда в испытаниях событие осуществится раз и не осуществится раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из испытаний, определяется формулой Бернулли

.

Пример 12. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза; 2) не менее двух раз.

Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы и . 1) Имеем , . По формуле Бернулли находим:

1) ;

2) .