2.1. Математическое ожидание. Дисперсия.

Пусть случайная величина может принимать значения с вероятностями соответственно .

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величинаы называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

.

Свойства математического ожидания.

1. ;

2. , где взаимно независимые случайные величины.

3. .

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Для вычислений используется следующая формула

Свойства дисперсии.

1. ;

2. , где взаимно независимые случайные величины.

3. Среднеквадратическое отклонение .

Задача 16. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X+ 2Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.

Решение. Используем свойства математического ожидания. Тогда получаем:

М (Х+2Y) = М (Х) + М(2Y) = М (Х) + 2М(Y) = 5 + 2^.3 = 11.

Задача 17. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию случайных величин: а) –3Х; б) 4Х + 3.

Решение. Применим свойства 3, 4 и 2 дисперсии. Имеем:

а) D(–3Х) = (–3)² D(Х) = 9 D(Х) = 9^.3 = 27;

б) D(4 Х + 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16^.3 = 48.

Задача 18. Дана независимая случайная величина Y – число очков, выпавших при бросании игральной кости. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y.

Решение. Таблица распределения случайной величины Y имеет вид:

Y	1	2	3	4	5	6
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда М(Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5)² · 1/6 +(2 – 3,5)² · /6 + (3 – 3,5)² · 1/6 + (4 – 3,5)² · /6 +(5 – –3,5)²· 1/6 + (6 – 3,5)^2. · 1/6 = 2,917; σ(Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Биномиальное распределение

Задача 19. Дана независимая случайная величина Х – число появлений герба при двух подбрасываниях монеты. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х.

Решение. Случайная величина Х принимает значение m с вероятностью P₂(m) = (формула Бернулли), где m = 0,1,2 и p = 0,5. Таблицей распределения этой случайной величины является

Х	0	1	2
Р	0,25	0,5	0,25

Отсюда М(Х) = 0 · 0,25 + 1 · 0,5 + 2 · 0,25 = 1 (или, используя формулу,: М(Х) = np = ); D(Х) = М(Х – М(Х))²= М(Х – 1)² = (0 –1)^2. · 0,25 + (1 –1)² · 0,5 + (2 –1)² · 0,25 = 0,5 (по формуле: D(X)= npq = ).

Задача 20. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

Решение. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятность каждого появления и не появления события: D(X) = npq. По условию, n = 5, p= 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8. Искомая дисперсия равна: D(X) = 5 · 0,2 · 0,8 = 0,8.