Глава 3. Критерий знаков.

В данной главе мы рассмотрим значение критерия знаков, примеры и основные понятия необходимые для проверки гипотез, а также рассмотрим проверку достоверности различий.

3.1. Основные сведения

Критерий предназначен для срав­нения состояния некоторого свойства у членов двух зави­симых выборок на основе измерений, сделанных по шка­ле не ниже ранговой.

Данные. Будем считать, что случайная переменная Х характеризует состояние некоторого свойства в рассматриваемой совокупности объектов при первичном измерении данного свойства, случайная переменная У характеризует состояние этого же свойства в той же совокупности объектов при вторичном измерении.

Имеется две серии наблюдений

над случайными переменными X и У, полученные при рассмотрении двух зависимых выборок. На их основе составлено N пар вида (х_i, у_i), где х_i, у_i — результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта.

В педагогических исследованиях объектами изуче­ния могут служить учащиеся, учителя, администрация школ. При этом х_i, у_i могут быть, например, балловы­ми оценками, выставленными учителем за двукратное выполнение одной и той же или различных работ одной и той же группой учащихся до и после применения некоторого педагогическою средства.

Элементы каждой пары х_i, у_i сравниваются между собой по величине, и паре присваивается знак «+», ес­ли х_i < у_i , знак «—», если х_i > у_i  и «0», если х_i = у_i. Установление соотношения «больше» («меньше») между двумя измерениями возможно, если эти измерения сделаны хотя бы по шкале порядка. Следовательно, знаковый критерий непригоден в случае измерений по шкале наименований.

Допущения. Для применения знакового критерия необходимо выполнение следующих требований: 1) выборки случайные; 2) выборки зависимые; 3) пары ( взаимно независимы; 4) изучаемое свойство объектов распределено непрерывно в обеих совокупностях, из которых сделаны выборки; 5) шкала измерений должна быть не ниже порядковой.

Гипотезы. Предположим, что законы распределения случайных величин X и У одинаковы. Тогда выполняется также и такое равенство Р ( < ) = Р ( > ) для всех пар ( , ), которое означает, что вероятность того, что первое измерение ( ) в паре ( , ) меньше второго измерения ( ), равна вероятности того, что первое измерение в паре больше второго, для всех N пар. Справедливость этого равенства и проверяется с помощью знакового критерия. Таким образом, нулевая гипотеза будет иметь вид

: Р ( < ) = Р ( > ) для всех i.

При использовании знакового критерия в качестве альтернативной гипотезы выбирается гипотеза

: Р ( < ) Р ( > ) для всех i.

Если гипотеза справедлива, то отсюда следует, что законы распределения величин X и Y различны, т.е. состояния изучаемого свойства существенно различны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства. Справедливость нулевой гипотезы интерпретируется следующим образом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях.

Пусть F(x) и G(x) —функции распределения случайных величин X и У. Иногда знаковый критерий применяется для проверки нулевой гипотезы : F(x) = G(x)—при альтернативе : F(x) ≠ G(x) более общего типа, чем указанная выше альтернатива Р (Х<Y) ≠ Р(Х>У). Однако для таких альтернатив критерий не является состоятельным.

Статистика критерия. Для проверки гипотез с помощью знакового критерия на основе наблюдений подсчитывается значение величины Т, называемой статистикой критерия. Значение Т определяется следующим образом.

Допустим, что из N пар ( , ) нашлось несколько пар, в которых значения и равны. Такие пары обозначаются знаком «О» и при подсчете значения величины Т не учитываются. Предположим, что за вычетом из числа N числа пар, обозначенных знаком «О», осталось всего n пар. Среди оставшихся пар подсчитаем число пар, обозначенных знаком «+» (т. е. те пары, в которых < ). Значение величины Т и равно числу пар со знаком «+».

Правило принятия решения. Пусть число , в которых ≠ равно n и α — принятый уровень значимости. Рассмотрим правила принятия решений при проверке разного вида гипотез.

1.Двусторонний критерий. Проводится проверка гипотезы

: Р ( < ) = Р ( > ) при альтернативе

: Р ( < ) ≠ Р ( > ).

Для n составлена специальная таблица (см. таблицу Б), в которой для каждого значения n даны критические значения и n— статистики Т для разных уровней значимости α. В табл. Б эти значения даны для α=0,05; α=0,02; α=0,01. При данном значении n гипотеза отклоняется на уровне значимости α, если для наблюдаемого значения Т справедливо одно из неравенств T < , или T > n— .

2. Односторонний критерий. В тех случаях, когда имеются достаточные основания предполагать, что результаты второго измерения изучаемого свойства у одних и тех же объектов — имеют тенденцию превышать (или, наоборот, быть меньше) результаты первичного измерения — , вместо двустороннего критерия используется односторонний критерий.

А. Для случая, когда имеют тенденцию превышать проводится проверка гипотезы

: Р ( < ) ≥ P ( > )

— при альтернативе

: Р ( < < Р ( > .

Для n ≤ 100 может быть использована та же таблица Б, что и для двустороннего критерия. отклоняется на уровне значимости α, указанном для одностороннего критерия, если наблюдаемое значение Т< . Табл. Б предлагает значения для уровней значимости α= 0,025; α=0,01; α=0,005.

Б. В том случае, когда имеет тенденцию превышать по значению , проводится проверка гипотезы

: Р ( < ≤ Р ( > )

— при альтернативе

: Р ( < > Р ( > ).

отклоняется на уровне значимости α, если наблюдаемое значение T > n— , где значение n— определяется из таблицы Б.

Таблица критических значений знакового критерии основана на биномиальном распределении. Для достаточно больших значений n биномиальное распределение можно приближенно заменить (аппроксимировать) нормальным. В случае двустороннего критерия определяется по формуле

= 0,5 (n+ ), (1), где — квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности . Приведем некоторые значения : для α=0,05 = -1,96; для α=0,02 = -2,58; для а = 0,01 = -3,29.

отклоняется на уровне значимости , если наблюдаемое значение Т< или Т>n— .

В случае одностороннего критерия определяется по формуле

= 0,5(n+ ), (2)

где —квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности α. При α=0,05 -1,64, при α=0,02 2,05; при α=0,01 = -2,58.

При проверке гипотезы : Р ( < ≤ Р ( > )— и альтернативы : Р ( < > Р ( > ) отклоняется на уровне значимости α, если наблюдаемое значение T< (значение определяется по формуле (2))

При проверке гипотезы : Р ( < ≤ Р ( > )— и альтернативы : Р ( < > Р ( > ) отклоняется на уровне значимости α, если наблюдаемое значение T>n- (значение определяется по формуле (2))