Індивідуальне завдання 2

Дослідіть поверхню .

1. Вкажіть «природну» область визначення поверхні.

2. Чи є поверхня регулярною?

3. За допомогою заміни параметра або перетворення системи координат спростіть рівняння поверхні, якщо це можливо.

4. Напишіть рівняння координатних ліній та визначте їх геометричні образи.

5. Складіть рівняння дотичної площини та нормалі поверхні в точці, яка відповідає ( обрати самостійно).

6. Знайдіть першу квадратичну форму поверхні.

7. Обчисліть кут між координатними лініями.

8. Знайдіть або оцініть площу куска поверхні, яка обмежена лініями

(константи обрати самостійно).

9. Знайдіть другу квадратичну форму поверхні.

10. Складіть рівняння індикатриси Дюпена та з’ясуйте її геометричний образ.

11. Знайдіть:

а) головні кривини поверхні;

б) гауссову та середню кривини поверхні.

12. Визначте тип точок поверхні.

13. Чи ізометрична поверхня:

а) площині;

б) циліндру;

в) сфері;

г) псевдосфері?

14. Чи є поверхня мінімальною?

15. Напишіть рівняння геодезичних кривих на поверхні та визначте їх геометричні образи.

Варіанти для виконання індивідуального завдання 2

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

24. 

Приклад виконання варіанта індивідуального завдання Дослідіть поверхню

1. «Природна» область визначення поверхні .

2. Регулярність:

а)

б) Перевіремо, що

– особлива точка. Точка - особлива точка.

Висновок: поверхня з особливою точкою.

3. Немає потреби.

4. Знайдемо рівняння координатних ліній та з’ясуємо, які це криві:

u – лінія

сім’я парабол

– сім’я плоских кривих.

v – лінія u

сім’я кіл, що лежить у площині

5. Складемо рівняння дотичної площини та нормалі у довільній точці.

– дотична площина.

6. Знайдемо першу квадратичну форму:

7. Обчислимо кут між координатними лініями.

координатна сіть ортогональна.

8. Знайдемо або оцінімо площу частини поверхні.

9. Знайдемо другу квадратичну форму.

9. Складемо рівняння індикатриси Дюпена та визначимо геометричне місто точок.

(область регулярності поверхні)

9. Знайдемо головну кривину поверхні, гауссову та середню кривину:

9. Визначимо тип точок поверхні.

еліптичні точки.

9. З’ясуємо чи ізометрична поверхня:

а) площині

б) сфері

в) псевдосфері

9. Чи є поверхня мінімальною?

, то поверхня не є мінімальною.

9. Запишемо рівняння геодезичних кривих на поверхні та визначимо їх геометричні образи.

Символ Кристоффеля:

Так як параболоїд – поверхня обертання, то геодезичними лініями є меридіани: у даному випадку u-лінії, v=const: .