3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Параметризуйте поверхню:

1. 2)

3. 4)

2. Дана крива . Знайдіть рівняння поверхні, що складається з прямих, які проходять через точки кривої і паралельні вектору

3. Складіть рівняння поверхні, яка утворена обертанням навколо вісі z лінією:

1) ; (колом);

2) (ланцюговою лінією);

3) (трактрисою).

Приклад. ;

Розв’язання.

4. Складіть параметричне рівняння циліндричної поверхні, твірні якої паралельні вектору , а напрямна задана рівняннями

, .

5. Запишіть неявне рівняння циліндричної поверхні з напрямною лінією , та прямолінійними твірними, паралельними вектору .

Приклад.

Розв’язання. – векторне рівняння лінійчастої поверхні. Тоді параметричні рівняння нашої поверхні:

– шукане рівняння.

6*. Знайдіть рівняння циліндричної поверхні, напрямна якої є лінія

а твірні паралельні вектору .

7. Дана поверхня

а) покажіть, що ця поверхня циліндрична;

б) запишіть рівняння якої-небудь її напрямної лінії;

в) знайдіть прямолінійну твірну, яка проходить через точку

8. Дана поверхня Перевірте, чи належать їй точки A (4, 2, 3), В (1, 4, -2).

9. Покажіть, що рівняння

і

задают одну й ту ж саму поверхню.

10. Знайдіть «природну область», в якій задана поверхня регулярна, напишіть рівняння координатних ліній та визначте їх геометричні образи:

1)

2)

3)

Приклад. ;

Розв’язання. .

Поверхня регулярна.

Координатні лінії: .

– кола з радіусом , що належать площинам .

.

– прямі, паралельні осі .

ЗАНЯТТЯ ІІ. РЕГУЛЯРНІ ПОВЕРХНІ