8.6. Дискретная динамическая модель оптимального распределения ресурсов

 

Для многих экономических и производственных задач характерной является дискретная модель, предполагающая, что величины, описывающие процесс, могут принимать только дискретный ряд значений. Функциональные зависимости в таких задачах задаются, как правило, в виде таблиц, а не аналитически. Однако общая схема их решения методом динамического программирования остается без изменений.

Рассмотрим дискретную динамическую модель на примере задачи распределения инвестиций. Требуется распределить имеющиеся В единиц средств среди n предприятий, доход g_i(x_i) от которых в зависимости от количества вложенных средств x_i определяется матрицей , приведенной в табл. 21 так, чтобы суммарный доход со всех предприятий был бы максимальным.

Таблица 21

gi   x	g1	g2	. . .	gi	. . .	gn
x1	g1(x1)	g2(x1)	…	gi(x1)		gn(x1)
x2	g1(x2)	g2(x2)	…	gi(x2)		gn(x2)
xi	…	…	…	gi(xi)	…	…
xn	g1(xn)	g2(xn)	…	gi(xn)		gn(xn)

 

Запишем математическую модель задачи.

Определить  удовлетворяющий условиям

                                                               (32), (33)

и обеспечивающий максимум целевой функции

                                            (34)

Очевидно, эта задача может быть решена простым перебором всех возможных вариантов распределения В единиц средств по n предприятиям, например на сетевой модели. Однако решим ее более эффективным методом, который заключается в замене сложной многовариантной задачи многократным решением простых задач с малым количеством исследуемых вариантов.

С этой целью разобьем процесс оптимизации на n шагов и будем на каждом k-том шаге оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом естественно считать, что в остальные предприятия (с первого по (k – 1)-е) тоже вкладываются средства, и поэтому на инвестирование предприятий с k-го по n-е остаются не все средства, а некоторая меньшая сумма C_k  B. Эта величина и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-том шаге назовем величину x_k средств, вкладываемых в k-тое предприятие. В качестве функции Беллмана F_k(C_k) на k-том шаге можно выбрать максимально возможный доход, который можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось C_k средств. Очевидно, что при вложении в k-е предприятие x_k средств будет получена прибыль g_k(x_k), а система к (k + 1)-му шагу перейдет в состояние S_k+1 и, следовательно, на инвестирование предприятий с (k + 1)-го до n-го останется C_k+1=(C_k-x_k) средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k = n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может остаться количество средств C_n, . Чтобы получить максимум прибыли с этого предприятия, можно вложить в него все эти средства, т. е.

На каждом последующем шаге для вычисления функции Беллмана необходимо использовать результаты предыдущего шага. Пусть на k-м шаге для инвестирования предприятий с k-го по n-е осталось C_k средств ( ). Тогда после вложения в k-ое предприятие x_k средств будет получена прибыль g_k(С_k), а на инвестирование остальных предприятий (с k-го по n-е) останется   средств. Максимально возможный доход, который может быть получен с предприятий (с k-го по n-е), будет равен:

                                 (30)

Максимум выражения (30) достигается на некотором значении , которое является оптимальным управлением на k-ом шаге для состояния системы S_k. Действуя таким образом, можно определить функцию Беллмана и оптимальные управления до шага k = 1.

Значение функции Беллмана F₁(C₁) представляет собой максимально возможный доход со всех предприятий, а значение , на котором достигается максимум дохода, является оптимальным количеством средств, вложенных в первое предприятие. Далее на этапе безусловной оптимизации для всех последующих шагов вычисляется величина  и оптимальным управлением на k-м шаге является то значение x_k, которое обеспечивает максимум дохода при соответствующем состоянии системы S_k.

Пример 73. На развитие трех предприятий выделено 5 млн. р. Известна эффективность капитальных вложений в каждое предприятие, заданная значением нелинейной функции g_i(x_i) представленной в табл. 22. Необходимо распределить выделенные средства между предприятиями таким образом, чтобы получить максимальный суммарный доход.

Для упрощения расчетов предполагаем, что распределение средств осуществляется в целых числах x_i = {0, 1, 2, 3, 4, 5} млн. р.

 

Таблица 22

x	g1	g2	g3
0	0	0	0
1	2.2	2	2.8
2	3	3.2	5.4
3	4.1	4.8	6.4
4	5.2	6.2	6.6
5	5.9	6.4	6.9

 

Решение. 1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг: k = 3. Предположим, что все средства в количестве x₃ = 5 млн. р. отданы третьему предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из табл. 23, составит g₃(X₃) = 6.9 тыс. р., следовательно:

F₃(c₃) = g₃(x₃).

 

Таблица 23

x3 c3	0	1	2	3	4	5	F3(c3)	x3*
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	-	2,8	-	-	-	-	2,8	1
2	-	-	5,4	-	-	-	5,4	2
3	-	-	-	6,4	-	-	6,4	3
4	-	-	-	-	6,6	-	6,6	4
5	-	-	-	-	-	6,9	6,9	5

 

2-й шаг: k = 2. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между вторым и третьим предприятиями. При этом соотношение Беллмана имеет вид

на основе которого составлена табл. 24:

 

Таблица 24

x2 c2	0	1	2	3	4	5	F2(c2)	x2*
0	0+0	-	-	-	-	-	0	0
1	0+2,8	2+0	-	-	-	-	2,8	0
2	0+5,4	2+2,8	3,2+0	-	-	-	5,4	0
3	0+6,4	2+5,4	3,2+2,8	4,8+0	-	-	7,4	1
4	0+6,6	2+6,4	3,2+5,4	4,8+2,8	6,2+0	-	8,6	2
5	0+6,9	2+6,6	3,2+6,4	4,8+5,4	6,2+2,8	6,4+0	10,2	3

 

3-й шаг: k = 1. Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между первым и двумя другими предприятиями, используя следующую формулу для расчета суммарного дохода:

на основе которого составлена табл. 25:

 

Таблица 25

x1 c1	0	1	2	3	4	5	F1(c1)	x1*
0	0+0	-	-	-	-	-	0	0
1	0+2,8	2,2+0	-	-	-	-	2,8	0
2	0+5,4	2,2+2,8	3+0	-	-	-	5,4	0
3	0+7,4	2,2+5,4	3+2,8	4,1+0	-	-	7,6	1
4	0+8,6	2,2+7,4	3+5,4	4,1+2,8	5,2+0	-	9,6	1
5	0+10,2	2,2+8,6	3+7,4	4,1+5,4	5,2+2,8	5,9	10,8	1