2 Этап. Безусловная оптимизация.
Определяем компоненты оптимальной стратегии.
1-й шаг. По данным табл. 25 максимальный доход при распределении 5 млн. р. между тремя предприятиями составляет: с1 = 5, F1(5) = 10.8. При этом первому предприятию нужно выделить х1* = 1 млн. р.
2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий.
с2 = с1 – х1* = 5 – 1 = 4 млн. р.
По данным табл. 24 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 4 млн. р. между вторым и третьим предприятиями составляет: F2 (4) = 8.6 при выделении второму предприятию х2* = 2 млн. р.
3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего предприятия:
с3 = с2 – х2* = 4 – 2 = 2 млн. р.
По данным табл. 25 находим:
F3(2) = 5.4 и х3* = 2 млн. р.
Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий:
,
который обеспечит максимальный доход,
равный
F(5) = g1(1) + g2(2) + g3(2) = 2.2 + 3.2 + 5.4 = 10.8 млн. р.
8.7. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров и т.п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r(t) (t – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену P. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t0 лет.
Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t0.
Таблица 26
t |
0 |
1 |
… |
n |
r |
r(0) |
r(1) |
… |
r(n) |
S |
S(0) |
S(1) |
… |
S(n) |
При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-шаговый, т.е. период эксплуатации разбивается на n-шагов.
Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k-го по n-й годы.
Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. k-го года.
Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (k = n), то на k-м шаге неизвестно, в какие годы с первого по (k – 1)-й должна осуществляться замена и соответственно неизвестен возраст оборудования к началу k-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:
(*)
Выражение (*) свидетельствует о том, что t не может превышать возраст оборудования за (k – 1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет t0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если замена произошла в начале предыдущего (k – 1)-го года).
Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k-м шаге.
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (C) или заменить (З) оборудование в начале k-го года:
Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-й, если к началу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу (k + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет t+1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (k + 1)-го года возраста tI = 1 год.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых – непосредственного результата управления и его последствий.
Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого t лет, то доход за этот год составит r(t). К началу (k + 1)-го года возраст оборудования достигнет (t + 1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (k + 1)-го по n-й) составит Fk+1(t+1). Если в начале k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста t лет по цене S(t), приобретается новое за P единиц, а его эксплуатация в течение k-го года нового оборудования принесет прибыль r(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (k + 1)-го по n-й максимально возможный доход будет Fk+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид
(31)
Функция Fk(t)
вычисляется на каждом шаге управления
для всех
.
Управление, при котором достигается
максимум дохода, является оптимальным.
Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-й год:
(32)
Значения функции Fn(t), определяемые Fn-1(t), Fn-2(t) вплоть до F1(t). F1(t0) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по n-й и т. д. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.
Пример 74. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы табл. 27, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
Таблица 27
t |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
r(t) |
8 |
7 |
7 |
6 |
6 |
5 |
5 |
S(t) |
12 |
10 |
8 |
8 |
7 |
6 |
4 |
Решение. 1 этап. Условная оптимизация.
1-й шаг. k = 6. Для первого шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6. Функциональное управление имеет вид (31).
2-й шаг. k = 5. Для второго шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5. Функциональное уравнение имеет вид
3-й шаг. k = 4.
4-й шаг. k = 3.
5-й шаг. k = 2.
6-й шаг. k = 1.
Результаты вычислений Беллмана Fk(t) приведены в следующей таблице, в которой k – год эксплуатации, t – возраст оборудования.
Таблица 28
t k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
37 |
|
|
|
|
|
2 |
31 |
30 |
|
|
|
|
3 |
26 |
24 |
23 |
|
|
|
4 |
20 |
19 |
17 |
16 |
|
|
5 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
|
6 |
7 |
7 |
6 |
6 |
5 |
5 |
В табл. 28 выделено серым значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
2-й этап. Безусловная оптимизация.
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F1(1) = 37. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2. Безусловно, оптимальное управление при k=2, х2(2) = С, т. е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется.
К началу третьего года при k=3 возраст оборудования станет: t3 = t2 + 1 = 3. Безусловное оптимальное управление х3(3) = З, т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо провести замену оборудования.
К началу четвертого года при k=4 возраст оборудования станет равен t4=1. Безусловное оптимальное управление х4(1) = С.
Далее соответственно:
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.