3.3. Примеры математических моделей в экономике Пример №1
Пусть
требуется определить план выпуска
четырех видов продукции:
A,B,C,D курсы трех видов: трудовые,
материальные, финансовые,
Количество каждого i-го вида ресурса
для производства каждого j-го вида про
для изготовления которых используются
ресдукции называют нормой расхода и
обозначают
.
Количество каждого вида ресурса, которое
имеется в наличии, обозначают
.
Нормы расхода и наличие ресурсов приведены в таблице:
Ресурсы |
Вид продукции |
Запас ресурса |
|||
|
|
|
|
||
Трудовые Материальные Финансовые |
6 7 3 |
4 9 4 |
2 11 9 |
1 5 6 |
800 2000 12000 |
Граница: нижняя верхняя |
1 12 |
- 2 |
3 - |
- - |
- - |
План |
|
|
|
|
- |
Для выпуска единицы продукции, вида A требуется шесть единиц трудовых ресурсов, C- 11 единиц материальных ресурсов и т. д.
Предприятие располагает 12000 единицами финансовых ресурсов, 2000 единицами материальных, 800 единицами трудовых.
Исходя из рыночного спроса и производственно-технологических возможностей, заданы верхние и нижние предельные границы выпуска каждого вида продукции.
На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.
Решение:
Так как , , , -количество выпускаемой продукции видов A,B,C,D, которое необходимо определить объем продукции, максимизирующий прибыль.
Составим ограничения.
Из таблицы видно, что для выпуска единицы продукции A требуется 6 единиц трудовых ресурсов, B, C, D соответственно 4, 2, 1 единиц трудовых ресурсов. Тогда трудовой ресурс, требуемый для выпуска всех видов продукции будет равен
Существуют ограничения на соответствующий ресурс:
Составим аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно-допустимые значения выпуска каждого вида продукции, то получим систему:
,
,
,
В системе неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов, называются ограничениями, а предельно-допустимые значения переменных – граничными условиями.
В ограничениях левые части неравенства – потребные ресурсы, а правые располагаемые.
Рассмотрим систему вида
, , , , где
,
,
.
В этой системе уравнений по сравнению с предыдущей введены уравновешивающие переменные, т.е. резервы по ресурсам.
Таким образом, сумма резервов , , будет увеличиваться при минимизации используемых ресурсов.
Очевидно, что система, содержащая три уравнения и семь переменных, имеет бесчисленное множество решений, то есть различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, включающие удовлетворяющие системе значения основных и дополнительных переменных, являются допустимыми планами.