А. Определение достоверности отличия дисперсии от ожидаемого значения.
Пусть имеются следующие данные:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Ожидаемая величина среднеквадратичного отклонения |
12 |
Число наблюдений N |
35 |
Определим достоверность отличия полученной величины от ожидаемой.
Рассчитаем дисперсии как квадраты среднеквадратичного отклонения:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения σ2 |
15,9 |
Ожидаемая величина
среднеквадратичного отклонения
|
12 |
Число наблюдений N |
35 |
Полученная оценка дисперсии |
=В1*В1 |
Ожидаемая дисперсия |
=В2*В2 |
Рассчитаем отношение оценки дисперсии к ее ожидаемому значению:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения σ2 |
15,9 |
Ожидаемая величина среднеквадратичного отклонения |
12 |
Число наблюдений N |
35 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Ожидаемая дисперсия |
144 |
Отношение оценки и ожидаемого значения |
=В4/В5 |
При истинности
проверяемого предположения полученная
величина должна быть распределена как
.
Умножив отношение на N-1,
получим величину, которая должна быть
распределена как хи-квадрат:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Ожидаемая величина среднеквадратичного отклонения |
12 |
Число наблюдений N |
35 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Ожидаемая дисперсия |
144 |
Отношение оценки и ожидаемого значения |
1,755625 |
Полученная величина хи-квадрат |
=В6*(В3-1) |
Рассчитаем вероятность того, что хи-квадрат распределение с данным числом степеней свободы (которое на 1 меньше числа наблюдений) принимает такие или меньшие значения:
Функция ХИ2РАСП(59.69, 34) = 0,00418 вычисляет доверительный уровень р или вероятность того, что случайная величина хи-квадрат будет больше значения 59.69 ( то есть р( χ2 > 59.69) ). Мы помним, что гипотеза отвергается, если доверительный уровень р меньше значения 0.05 или
р < 0,05.
Б. Определение доверительных границ к дисперсии.
Пусть имеются следующие данные:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Число наблюдений N |
35 |
Р |
0,05 |
Рассчитаем доверительные границы.
Для начала рассчитаем дисперсию
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Число наблюдений N |
35 |
Р |
0,05 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Для начала рассчитаем для заданного доверительного уровня р = 0,05 доверительный интервал для величины хи-квадрат таким образом, чтобы малым и большим значениям величины хи-квадрат соответствовали вероятности р/2 (смотри рисунок ниже).
Это можно сделать при помощи функции ХИ2ОБР.
Так как эта функция рассчитывает значения величины хи-квадрат для заданной вероятности , то, чтобы получить доверительные границы с доверительной вероятностью Р = 1-р нам надо слева и справа «отщипнуть» по р/2, то есть рассчитать значения величины хи-квадрат для =р/2 и =1-р/2
Так как величина
ожидается в пределах
от a
до b,
то при заданном 
величина дисперсии σ2
ожидается
в пределах от 
до 
.
Отсюда имеем:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Число наблюдений N |
35 |
Р |
0,05 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Ожидаемое значение хи-квадрат распределения: |
|
От |
51,9660216 |
До |
19,8062372 |
Ожидаемое значение дисперсии: |
|
От |
=В4*(В2-1)/В6 |
До |
=В4*(В2-1)/В7 |
Взяв квадратный корень из границ для дисперсии, получим доверительные границы для среднеквадратичного отклонения:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Число наблюдений N |
35 |
Р |
0,05 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Ожидаемое значение хи-квадрат распределения: |
|
От |
51,9660216 |
До |
19,8062372 |
Ожидаемое значение дисперсии: |
|
От |
165,406928 |
До |
433,981474 |
Ожидаемое значение среднеквадратичного отклонения |
|
От |
=корень(В9) |
До |
=корень(В10) |
А там и рассчитать погрешности (понимаемые как расстояния до границ доверительного интервала):
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Число наблюдений N |
35 |
Р |
0,05 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Ожидаемое значение хи-квадрат распределения: |
|
От |
51,9660216 |
До |
19,8062372 |
Ожидаемое значение дисперсии: |
|
От |
165,406928 |
До |
433,981474 |
Ожидаемое значение среднеквадратичного отклонения |
|
От |
12,8610625 |
До |
20,832222 |
Погрешность - |
=В1-В12 |
Погрешность + |
=В13-В1 |
В результате получим:
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения |
15,9 |
Чис ло наблюдений N |
35 |
р |
0,05 |
Полученная оценка дисперсии |
252,81 |
Ожидаемое значение хи-квадрат распределения: |
|
От |
51,9660216 |
До |
19,8062372 |
Ожидаемое значение дисперсии: |
|
От |
165,406928 |
До |
433,981474 |
Ожидаемое значение среднеквадратичного отклонения |
|
От |
12,8610625 |
До |
20,832222 |
Погрешность - |
3,03893752 |
Погрешность + |
4,93222202 |