Типовые задачи. А. Определение достоверности отличия математического ожидания от ожидаемого значения.

Пусть имеются следующие данные:

Полученное среднее арифметическое	47,3
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения	14,9
Число наблюдений N	55
Ожидаемое математическое ожидание	50

Из линейных свойств параметров следует, что среднеквадратичное отклонение среднего из N наблюдений в корень из N раз меньше, чем у одного наблюдения.

Полученное среднее арифметическое	47,3
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения	14,9
Число наблюдений N	55
Ожидаемое математическое ожидание	50
Среднеквадратичное отклонение среднего по группе	=В2/корень(В3)

Далее величина t рассчитывается как разность полученного и ожидаемого значения среднего, деленное на оценку среднеквадратичного отклонения среднего по группе:

Полученное среднее арифметическое	47,3
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения	14,9
Число наблюдений N	55
Ожидаемое математическое ожидание	50
Среднеквадратичное отклонение среднего по группе	2,00911559
t	=(В1-В4)/В5

Различие между двумя средними устанавливается с помощью критерия, который использует распределение Стьюдента с числом степеней свободы равным N-1 (критерий Стъюдента).

Для проверки гипотезы и расчета р можно воспользоваться затабулированной а Excel функции СТЬЮДРАСП(). При этом, так как мы проверяем гипотезу о равенстве, а не о том, что что-то больше или меньше, то доверительные границы надо брать двусторонними, то есть указывать «число хвостов» равным двум, а в качестве исходного значения подставлять модуль t. Проще всего его вычислить при помощи встроенной функции abs.

Полученное среднее арифметическое	47,3
Полученная оценка среднеквадратичного отклонения	14,9
Число наблюдений N	55
Ожидаемое математическое ожидание	50
Среднеквадратичное отклонение среднего по группе	2,00911559
t	-1,343874894
р	0,184608355

В результате получили p=0,1846 - различия недостоверны.

Для данных, имеющихся в SPSS , подобную проверку можно делать при помощи команды Analize / Compare Means / One Sample T-test, после чего выбрать нужную переменную, а в качестве Test value задать ожидаемое значение.

Например, проверим, действительно ли средний возраст больных пневмонией отличается от 50 лет:

В результате получили:

Полученная величина среднего возраста 54,53 года, что на 4,53 больше ожидаемого значения. Среднеквадратичное отклонение среднего по группе составило 0,58 года, так что t, равное отношению разности к этому отклонению, было равно 7,844. Число степеней свободы – на единицу меньше числа наблюдений. В результате получили, что различия достоверны с p<0,001.

Также рассчитаны и 95%-ные доверительные границы для разности фактического и ожидаемого значения. Так как они – от 3,44 до 5,67, то при ожидаемом значении в 50 получаем, что 95%-ные доверительные границы для среднего возраста – от 53,4 до 55,67.