Методы численного решения систем дифференциальных уравнений Гармонические колебания

Уравнение, описывающее идеальный периодический процесс (гармонические колебания), представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка:

(15)

Это уравнение легко можно записать в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(16)

Эту систему можно записать в матричном виде:

, или , (17)

где A – матрица постоянных коэффициентов, Y – искомый вектор.

Эта система дифференциальных уравнений относится к линейным системам, поскольку в правой части отсутствуют нелинейные слагаемые по искомой функции (нет квадратов, кубов и других нелинейных выражений от Y). Кроме того, эта система относится к однородным системам дифференциальных уравнений, поскольку в правой части отсутствуют свободные слагаемые, зависящие только от аргумента.

Интересной особенностью однородных систем дифференциальных уравнений, как в прочем и однородных систем алгебраических уравнений, является наличие тривиального – нулевого решения – Y(t)=0. Это решение соответствует состоянию покоя (равновесия) моделируемого объекта.

Затухающие колебания

Периодический процесс с затуханием описывается дифференциальным уравнением гармонических колебаний с учетом силы сопротивления. Силу сопротивления можно описать различными способами, в зависимости от ее характера. Рассмотрим возможный вариант силы сопротивления. Скорость изменения моделируемой величины – . Пусть сила сопротивления будет направлена против скорости и пропорциональна скорости изменения по величине, то есть, чем больше скорость изменения, тем больше сила сопротивления, если скорость изменения моделируемой величины равна нулю, тогда и сила сопротивления будет равна нулю. Введем коэффициент пропорциональности силы сопротивления скорости – k, тогда получим выражение для силы сопротивления:

(18)

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания, имеет вид:

(19)

Это дифференциальное уравнение легко представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(20)

Матричная форма дифференциального уравнения:

(21)

Система дифференциальных уравнений, описывающая затухающие колебания, также относится к линейным однородным дифференциальным уравнениям, имеет тривиальное решение и, более того, любое решение этой системы стремится к тривиальному – то есть к состоянию равновесия.

Периодический процесс с затуханием и с внешней силой

Уравнение, описывающее периодический процесс с затуханием и с внешней возбуждающей силой.

(22)

Иногда, если внешняя сила F(t) периодическая, такую систему называют системой вынужденных колебаний.

Запишем это дифференциальное уравнение в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(23)

Запись системы дифференциальных уравнений в матричном виде:

(24)

Эта система дифференциальных уравнений уже не является однородной. В правой части имеется свободное, зависящее от аргумента, слагаемое – столбец , представляющий собой вектор возбуждающей силы. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений уже не обязаны иметь тривиальное решение. Более того, по истечении достаточно большого промежутка времени, когда начальное возмущение затухнет, останется решение, определяющееся возбуждающей силой.

Для решения систем дифференциальных уравнений можно применять такие же методы, как и для дифференциальных уравнений первого порядка, только при этом, необходимо модифицировать расчетные формулы с учетом того, что искомая функция является вектором, и правая часть дифференциального уравнения представляет собой векторное выражение.