Раздел 2. Системы знания 207

Априорное знание как аналитическое знание

Однако были и другие философы, которые не соглашались с такого рода объяснениями. Да, говорили эти философы, знание в математике, действительно, довольно специфично, поскольку внеопытно. Но для объяснения этой особенности вовсе не обязательно предполагать существование особого бестелесного мира идей или врожденного мира сознания, поскольку наша жизнь, обычная практика и развитие науки заставляют с большим подозренем относиться к такого рода предположениям. Специфику знания в математике можно объяснить гораздо проще. Все дело в том, что в действительности математическое знание не является... знанием.

Вот как рассуждали эти философы.

Все наши знания мы выражаем обычно с помощью языка. Это могут быть знания о нашем обычном опыте («Там находится большой трехэтажный дом», «Листья этого дерева уже облетели»). Это могут быть знания о законах природы («Каждое тело, не подвергаемое воздействию извне, покоится или движется равномерно и прямолинейно»). Но язык выражает не только знания. Наши высказывания могут содержать приказы («Огонь!»), просьбы («Закройте, пожалуйста, окно»), обещания («Клянусь говорить правду и только правду»). Есть однако еще одна группа утверждений, которые не передают ни знаний о мире, ни просьб или обещаний. Они выражают значения слов данного языка. Таково, например, высказывание «Холстяк — это неженатый мужчина». Для того, чтобы убедиться в его истинности, вовсе не нужно изучать холостяков с целью выяснения, все ли они, действительно, являются неженатыми. Если вы понимаете смысл слова «холостяк» в русском языке, вы согласитесь с тем, что холостяк — это в самом деле неженатый мужчина. Истинность этого высказывания, таким образом, определяется независимо от опыта. Такие высказывания получили название аналитических. Особенность такого рода высказываний состоит в том, что они выражают не знания, а характер того средства — языка, — которое мы используем для выражения любых знаний. Ряд философов предположили, что законы логики (закон тождества, закон противоречия и закон исключенного третьего)· тоже являются такого рода аналитическими высказываниями. Затем эти философы попытались показать, что все математические утверждения (начиная с утверждений арифметики) можно чисто логическим путем вывести из этих логических законов. Если бы этот замысел удался, можно было бы с определенным основанием считать, что математика сводится к логике, а поскольку логика состоит лишь из аналитических высказываний, то и математика — это ни что иное, как система такого рода высказываний. В этом случае априорный характер математики можно было бы связать не с существованием особого царства нематериальных идей и не с врожденными характеристиками нашего сознания, а попросту с логической структурой языка.

208 Часть III. Человеческое познание. Пропедевтика

Бесконечность в математике, парадоксы и законы логики

Однако реальный характер познания в математике оказался не столь простым. Для многих разделов математики существенным является оперирование с бесконечностью (бесконечность натурального ряда чисел в арифметике, бесконечные переходы в интегральном и дифференциальном исчислении и т.д.). Между тем, вывести утверждения о бесконечности из простых высказываний формальной логики оказалось невозможным. В начале XX столетия выяснилось, что во многих случаях оперирование математической бесконечностью ведет к парадоксам (неразрешимым противоречиям).

Представьте себе, что вы работаете в гардеробе театра. Пришедшие на спектакль зрители сдали вам свои пальто и получили от вас номерки. Ясно, что каждому сданному пальто соответствует свой номерок. Не может быть, чтобы количество пальто и номерков не совпадало. В математике совокупность предметов, объединяемых по некоторому признаку, называют множеством. В данном случае мы имеем два множества: пальто и номерков. Когда каждому элементу одного множества можно поставить в соответствие один и только один элемент другого множества, мы говорим о том, что эти два множества равномощны (на более привычном нам, хотя и менее строгом с математической точки зрения языке, мы можем сказать, что в этом случае два множества содержат равное количество элементов). Если же мы не на все пальто выдавали номерки, то, разумеется, равномощности двух множеств не получится: одно из них (в данном случае множество пальто) будет «мощнее» другого (множества номерков). Одно множество может быть частью другого. Так, например, множество всех мужчин данного города является частью множества всех его жителей. Во всяком случае, когда мы имеем дело с конечными множествами, всегда легко можно установить отношения между множествами: являются ли они равномощными или неравномощными или же одно из них является частью другого.

Но вот когда мы переходим к множествам бесконечным, дело основательно запутывается.

Представьте себе множество всех натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6, 7,8,... Ясно, что это множество бесконечно. А теперь представьте себе множество всех четных чисел: 2,4,6,8,... Ясно, что и это множество тоже бесконечно. Не менее ясно и то, что четные числа составляют лишь часть всех натуральных: ведь четным является не всякое натуральное число, наряду с четными существуют и нечетные натуральные числа. Если одно множество составляет часть другого, разумеется, оно уступает по мощности тому множеству, в которое оно входит. Значит, мощность всех четных чисел гораздо меньше мощности всех натуральных чисел. Но теперь давайте проделаем такую процедуру. Сопоставим каждый элемент множества всех четных чисел с каждым элементом всех натуральных чисел. Иными словами, поставим в соответствие числа 2 и 1, 4 и 2, 6иЗ,