Введение

В учебном пособии (практикуме) к каждой теме даются: краткий теоретический материал с необходимыми формулами и разъяснениями, приводится пример решения задачи на данную тему, предлагаются контрольные задачи для решения на практических занятиях или самостоятельного решения и вопросы для закрепления разобранного материала. В приложениях приведен необходимый справочный материал, который требуется при решении задач.

При решении задач необходимо пользоваться нормами СНиП II – 25 – 80 «Нормы проектирования. Деревянные конструкции» и справочным материалом, помещенным в приложениях учебного пособия.

Подбирая сечения, при решении задач, необходимо стремиться к наиболее экономичному решению, допуская запас прочности не более 20 % и увязывая принятые размеры сечений с сортаментом пиломатериалов и технологическими условиями их изготовления.

Практическое занятие 1 Расчёт сечений элементов подверженных центральному растяжению и центральному сжатию

Теоретическая часть

Элементы, подверженные центральному растяжению, проверяются на прочность, а центральному сжатию – на прочность и устойчивость по первой группе предельных состояний.

Для сжатых и растянутых элементов ферм и других сквозных конструкций, связей, а также сжатых стоек, колонн и их отдельных ветвей требуется проверка на гибкость [4].

Проверку прочности центрально-растянутых и центрально-сжатых элементов выполняют по формулам:

– центрально-растянутых , (1.1)

– центрально-сжатых . (1.2)

Устойчивость центрально-сжатых элементов проверяют по формуле:

. (1.3)

Гибкость – по формуле: ≤_макс. (1.4)

В формулах (1.1 – 1.4): – площадь нетто поперечного сечения элемента.

При определении для центрально-растянутого элемента, ослабления, расположенные на участке длиной до 200 мм включительно, следует принимать совмещёнными в одном сечении;

– расчётная площадь поперечного сечения элемента, принимаемая равной:

= – при отсутствии ослаблений или ослаблениях в опасных сечениях, не выходящих на кромки, если площадь ослаблений < 25 % ;

= – если площадь ослабления > 25 % (при ослаблениях не выходящих на кромки);

= – при симметричных ослаблениях, выходящих на кромки элемента;

R_p*, R_c* – соответственно расчетные сопротивления материала растяжению и сжатию (для древесины вдоль волокон) умноженные в зависимости от условий работы и эксплуатации на коэффициенты условий работы m_i. Расчетные сопротивления R_i древесины сосны (кроме веймутовой), ели, лиственницы европейской и японской приведены в таблице 3 [4] и таблице А.1, приложение А. Расчетные сопротивления для других пород древесин устанавливаются путем умножения величин, приведенных в таблице 3 [4] и таблице А.1, приложение А на значения переходного коэффициента m_п. Значения переходного коэффициента m_п и коэффициентов условий работы m_i приведены в таблицах 4 – 9 и п. 3.2 [4] и таблицах Б.1 – Б.6 приложение Б и Б* данного методического пособия.

Коэффициент продольного изгиба φ определяют по формулам:

при гибкости элемента λ70

=1 – ; (1.5)

при > 70 = , (1.6)

где коэффициент α = 0,8 для древесины и α = 1 для фанеры; коэффициент А = 3000 для древесины и А = 2500 для фанеры. Для некоторых других материалов значения коэффициента  можно подсчитать по формулам таблицы Ж.1, приложение Ж.

Гибкость элементов цельного сечения определяют по формуле

= = , (1.7)

где l₀ – расчетная длина элемента; r – радиус инерции сечения элемента с максимальными размерами брутто соответственно относительно оси х и у. Для прямоугольного сечения размером hb радиусы инерции можно подсчитать, с достаточной степенью точности, по формулам:

r_х = 0,289·h, r_у = 0,289 b,

здесь h и b – соответственно высота и ширина поперечного прямоугольного сечения элемента; для других типов сечений значения радиусов инерции и геометрических характеристик можно найти в таблице И.1, приложение И, а также в справочной [10] и другой литературе; ₀ – коэффициент, зависящей от условий закрепления концов элемента и характера приложения сжимающей нагрузки.

Для определения расчетной длины прямолинейных элементов, загруженных продольными силами по концам, коэффициент ₀ следует принимать равным: при шарнирно-закрепленных концах, а также при шарнирном закреплении в промежуточных точках элемента – 1; при одном шарнирно-закрепленном и другом защемленном конце – 0,8; при одном защемленном и другом свободном нагруженном конце – 2,2; при обоих защемленных концах – 0,65.

При других вариантах загружений и для пересекающихся элементов значения коэффициента ₀ следует принимать по указаниям [4].

Пример 1.1

Найти несущую способность центрально-растянутого элемента (рисунок 1.1), со следующими исходными данными:

h =250 мм; b=125 мм; a=100 мм; c=300 мм; e=210 мм; d=16 мм; материал – пихта; группа конструкций – А 1; сорт древесины – 2.

Рисунок 1.1 – Центрально-растянутый элемент

Решение

Несущую способность элемента при заданных условиях задачи вычисляем по формуле: N=m₀ m_п m_в R_р F_нт, (1.8)

где m₀ – коэффициент, учитывающий наличие ослаблений, равен 0,8, приложение Б^* в; m_п – коэффициент перехода на породу дерева, для пихты равен 0,8 таблица Б.1, приложение Б; m_в – коэффициент, учитывающий различные условия эксплуатации, равен 1,0 таблица Б.2, приложение Б; R_р – расчетное сопротивление древесины (сосны, ели), принимается по таблице А.1, приложение А и равно 7 МПа = 0,7 кН/см².

Для вычисления F_нт выбираем самый опасный участок, где на расстоянии 200 мм имеет место наибольшая площадь ослаблений (не попадающих при перемещении вдоль волокон одно на другое).

Такой участок будет на участке с отверстиями 1, 2 и 3.

F_нт = hb – 3db = 25∙12,5 – 3∙1,6∙12,5 = 252,5 см².

Несущая способность центрально-растянутого элемента по формуле (1.8): N=0,8∙0,8∙1,0∙0,7∙252,5 = 113,12 кН.

Пример 1.2

Найти несущую способность центрально-сжатого стержня (рисунок 1.2) со следующими исходными данными:

l = 3500 мм; h = 175 мм; b = 125 мм; a = 170 мм; d = 40 мм; стержень закреплен по концам в плоскостях х – х и у – у – шарнирно; материал – береза; условиях эксплуатации – Б 2; сорт древесины – 2.

Рисунок 1.2 – Центрально-сжатый стержень

Решение

Несущая способность центрально-сжатого стрежня с учетом его устойчивости подсчитывается по формуле:

N = φF_расчm_п m_вR_c, (1.9)

где m_п = 1,1 по таблице Б.1, приложение Б; m_в = 1,0 по таблице Б.2, приложение Б; R_с = 14 МПа = 1,4 кН/см² (для сосны второго сорта, таблица А.1, приложение А).

Поскольку сечение ослаблено отверстием d = 40 мм, площадь ослабления равна: F_осл = db = 4 · 12,5 = 50 см²,

что составляет 100 % = 22,86 % < 25 %.

Расчетная площадь сечения при проверке устойчивости:

F_расч = F_бр = 17,5·12,5 = 218,75 см².

Для определения коэффициента φ подсчитаем гибкость элемента:

Расчет ведем при большей гибкости λ_у = 96,89. Для гибкости λ > 70 определяем коэффициент φ по формуле (1.6):

Несущая способность стержня с учетом его устойчивости по формуле (1.9):

N = 0,32 · 218,75 · 1,1 · 1,0 · 1,4 = 107,8 кН.

Несущую способность центрально-сжатого стержня по прочности подсчитываем по формуле: . (1.10)

;

Следовательно, несущая способность центрально-сжатого стержня будет равна:

Задания

Задача 1.1

Н айти несущую способность центрально-растянутого элемента (рисунок 1.3). Исходные данные приведены в таблице 1.1.

Рисунок 1.3 – Центрально-растянутый элемент

Таблица 1.1 – Исходные данные к решению задачи 1.1

№ варианта	Исходные данные
	h, мм	b, мм	a, мм	c, мм	d, мм	материал	условия эксплуатации*	сорт древесины
1	200	150	120	150	16	Сосна	А 1	1
2	225	125	250	250	18	Лиственница	Б 3	2
3	250	150	190	130	14	Ель	А 2	1
4	275	100	210	180	20	Береза	В 1	1
5	175	100	300	100	12	Дуб	В 2	1
6	175	150	250	300	16	Пихта	А 3	2
7	200	125	210	210	18	Ясень	Б 3	2
8	225	150	200	150	12	Вяз	А 1	1
9	250	100	350	350	22	Кедр сибирский	В 2	1
10	250	125	120	150	16	Клен	Б 3	2

* Перед решением задач по таблице 1 [4] или таблице Н.1, приложение Н ознакомиться с характеристиками условий эксплуатации конструкций

Задача 1.2

П роверить несущую способность центрально-растянутого элемента (рисунок 1.4). Исходные данные приведены в таблице 1.2.

Рисунок 1.4 – Центрально-растянутый элемент

Таблица 1.2 – Исходные данные к решению задачи 1.2

№ варианта	Исходные данные
	N, кН	h, мм	b, мм	а, мм	c, мм	d, мм	материал	условия эксплуатации	сорт	№ схемы по рисунку 1.4
1	60	100	100	-	10	-	сосна	А 3	1	а
2	70	125	100	250	120	10	акация	А 1	2	б
3	80	150	100	-	15	-	пихта	В 1	1	а
4	90	175	150	175	210	16	кедр сибирский	Б 3	2	б
5	100	200	150	-	20	-	лиственница	В 2	1	а
6	110	225	150	250	250	18	сосна	Г 2	2	б
7	120	250	150	-	25	-	ясень	Г 1	1	а
8	130	225	125	210	150	12	берёза	Б 3	1	б
9	140	250	125	-	20	-	сосна веймутова	А 2	2	а
10	150	275	100	175	250	10	вяз	Б 1	2	б

Задача 1.3

Найти несущую способность центрально-сжатого стержня (рисунок 1.5), данные по которому приведены в таблице 1.3.

Рисунок 1.5 – Центрально-сжатый стержень

Таблица 1.3 – Исходные данные к решению задачи 1.3

№ варианта	Исходные данные
	l, мм	h, мм	b, мм	a, мм	d, мм	схема закрепления концов в плоскости		материал	условия эксплуа- тации	сорт
						х – х	у – у
1	3500	200	150	150	40	ш – ш	ш – ш	сосна	А 3	2
2	4500	250	150	300	24	з – о	ш – ш	пихта	А 2	1
3	3800	225	200	180	18	з – о	з – о	кедр сибирский	А 1	1
4	3500	250	150	300	28	з – о	ш – ш	ель	Б 3	1
5	6500	225	175	170	20	ш – з	з – з	лиственница	Б 3	1
6	4000	200	175	250	24	ш – ш	з – з	граб	Б 1	2
7	3000	225	175	120	20	з – о	ш – ш	дуб	В 3	2
8	4500	250	200	350	24	з – з	з – о	береза	В 2	1
9	5000	225	175	190	22	з – о	ш – ш	ясень	В 1	1
10	4000	200	150	160	20	ш – з	з – ш	вяз	А 2	2

Примечание: Буквы в графе «схема закрепления концов в плоскости» означают: ш – шарнирное, з – защемление, о – свободное (без закреплений).

Задача 1.4

Проверить несущую способность центрально-сжатого стержня (рисунок 1.6). Исходные данные приведены в таблице 1.4.

Рисунок 1.6 – Центрально-сжатый стержень

Таблица 4 – Исходные данные к решению задачи 1.4

№ варианта	Исходные данные
	N, кН	Тип сечения	h, мм	b, мм	D, мм	с, мм	условия закрепления концов стержня в плоскости		материал	сорт	усло- вия экс- плуа- тации
							х – х	y – y
1	80	а	175	150	–	20	ш – ш	ш – ш	пихта	2	А 1
2	90	б	–	d/2	220	–	з – о	з – о	ель	1	Б 2
3	70	а	150	100	–	30	з – ш	ш – з	акация	2	В 3
4	60	б	–	d/2	200	–	ш – ш	ш – ш	лиственница	1	Б 1
5	50	а	150	150	–	40	ш – з	з – з	бук	2	А 2
6	100	б	–	d/3	240	–	ш – ш	з – о	сосна	1	В 1
7	110	а	200	150	–	50	з – ш	ш – ш	ильм	2	А 3
8	120	б	–	d/2	250	–	ш – з	з – о	клен	1	Б 3
9	130	а	250	150	–	60	з – о	ш – ш	граб	2	В 2
10	140	б	–	d/3	270	–	ш – ш	з – з	кедр сибирский	2	Б 3

Примечание: з – защемление, о – свободный, ш – шарнир.

Вопросы к практическому занятию

1. Как к элементу должна быть приложена нагрузка, чтобы в нем возникло такое напряженное состояние, как центральное растяжение, центральное сжатие?

2. Какое внутреннее усилие возникает в центрально растянутом, сжатом элементе, назовите его?

3. Назовите конструкции или их элементы, где возможны такие напряженные состояния.

4. По какой группе предельных состояний рассчитываются такие элементы?

5. Назовите проверки, которые необходимо выполнить для центрально сжатого, центрально растянутого элемента.

6. Нормируется ли гибкость таких элементов?

7. Как для центрально-растянутых элементов определяется площадь поперечного сечения F_нт?

Литература: [1 – 4, 7, 10].