Расчет сечений элементов подверженных сжатию с изгибом и растяжению с изгибом

Теоретическая часть

Элементы подверженные сжатию с изгибом или внецентренному сжатию рассчитываются по двум группам предельных состояний.

По первой группе предельных состояний такие элементы расчитываются в плоскости изгиба на прочность по краевым сжимающим напряжениям; из плоскости изгиба – на устойчивость плоской формы деформирования. По второй группе предельных состояний – на прогиб.

Расчет на прочность по краевым сжимающим напряжениям сжато-изгибаемых и внецентренно-сжатых шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов (синусоидального, параболического, полигонального и близких к ним очертаний) и консольных элементов выполняют по формуле

. (4.1)

На прочность по касательным напряжениям по формуле:

. (4.2)

На устойчивость плоской формы деформирования сжато-изгибаемые элементы рассчитывают по формуле:

. (4.3)

При необходимости проверки устойчивости сжато-изгибаемых элементов без учета действия изгибающего момента расчет выполняют по формуле:

. (4.4)

Прогиб сжато-изгибаемых шарнирно-опертых симметрично нагруженных и консольных элементов определяют по формуле:

f= . (4.5)

f f_и, (4.6)

где в формулах (4.1 – 4.5): φ – коэффициент продольного изгиба элемента определяется по формулам (1.5), (1.6); φ_М – коэффициент устойчивости для изгибаемых элементов, подсчитывается по формуле (2.4); φ_у – коэффициент продольного изгиба, определяемый по формуле (1.6) для гибкости участка элемента расчетной длиной l_р из плоскости деформирования; n = 2 – для элементов без закрепления растянутой зоны из плоскости деформирования и n = 1 – для элементов, имеющих такие закрепления; ξ – коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента.

Величину коэффициента ξ для древесины подсчитывают по формуле:

. (4.7)

В случаях, когда в шарнирно-опертых элементах эпюры изгибающих моментов имеют треугольное или прямоугольное очертание, коэффициент ξ по формуле (4.7) умножается на поправочный коэффициент k_н:

, (4.8)

где α_н – коэффициент, который следует принимать равным 1,22 при треугольных эпюрах изгибающих моментов (от сосредоточенной силы) и 0,81 при эпюрах прямоугольного очертания (от постоянного изгибающего момента).

При несимметричном загружении шарнирно-опертых элементов расчет по формуле (4.1) выполняют с учетом требований п. 4.17, примечания 3 [4].

Для элементов переменного по высоте сечения площадь F_бр в формуле (4.7) принимают для максимального по высоте сечения, а числитель формулы необходимо умножить на коэффициент k_жN, принимаемый по таблице Л.4, приложение Л.

При отношении напряжений в формуле (4.1) от изгиба

к напряжениям от сжатия

менее 0,1 сжато-изгибаемые элементы проверяют также и на устойчивость по формуле (1.3) без учета изгибающего момента. Значение коэффициента φ определяют по формулам (1.5), (1.6).

Расчет на устойчивость плоской формы деформирования сжато-изгибаемых элементов по формуле (4.3), имеющих на участке l_р закрепления из плоскости деформирования со стороны растянутой от момента М кромки, а также элементов переменного по высоте сечения, следует выполнять с учетом указаний п. 4.18 [4].

Если коэффициенты φ_у>1 и φ_м>1 в формуле (4.3), то проверка устойчивости плоской формы деформирования по формуле (4.3) не требуется. Когда же только один из коэффициентов больше единицы, то проверку по формуле (4.3) необходимо выполнять.

Пояснения к формулам (4.5) и (4.6) см. практическое занятие 2.

Внецентренно-сжатые и сжато-изгибаемые элементы проверяются на устойчивость из плоскости изгиба на действие только сжимающей силы N по формулам (1.3), (1.5), если гибкость из плоскости изгиба λ_у<70 и напряжение от сжатия выше напряжения от изгиба σ_с> σ_и.

Проверку прочности растянуто-изгибаемых и внецентренно-растянутых элементов производят по формуле:

. (4.9)

где W_расч, (см³) – расчетный момент сопротивления поперечного сечения (см. пояснения к формуле (2.1)); F_расч, (см²) – площадь расчетного сечения нетто.

Проверку на прогиб выполняют по формулам (2.5), (2.6).

При действии на элемент равномерно-распределенной нагрузки q величину f₀ можно подсчитать по формуле (4.10):

(4.10)

Если к элементу приложена с эксцентриситетом е только продольная растягивающая сила N, то f₀ можно найти по формуле (4.11):

(4.11)

где q^н, М^н – соответственно нормативная равномерно-распределенная нагрузка и нормативный изгибающий момент.

При приложении к продольной оси элемента поперечной нагрузки и центральной продольной растягивающей силы N (например, рисунок 4.4, а) в расчетах на прочность по формуле (4.9) и жесткость по формулам (2.5), (4.10) не учитывают дополнительный момент от продольной силы N.

Пример 4.1

Проверить прочность, устойчивость полоской формы деформирования и прогиб элемента прямоугольного поперечного сечения (h×b), подверженного действию осевой сжимающей силы N и поперечной равномерно распределенной нагрузки q (рисунок 4.1). Исходные данные: продольная расчетная сжимающая сила N = 42 кН; расчетная равномерно распределенная нагрузка q = 5,5 кН/м; нормативная q^н=4,23 кН/м; геометрическая длина элемента l=4200 мм; высота поперечного сечения h=225 мм; ширина b=150 мм; материал – ель второго сорта. Условия эксплуатации не оговорены. Элемент не имеет промежуточных раскреплений из плоскости.

Рисунок 4.1 – Расчетная схема элемента

Решение

Предварительно подсчитаем изгибающий момент в середине длины элемента без учета дополнительного момента от продольной силы и геометрические характеристики сечения:

F_нт= b×h = 15·22,5 = 337,5 см² (ослаблений нет);

.

R_c = 15 МПа = 1,5кН/см² R_ск=1,6 МПа=0,16 кН/см²; R_и =15 МПа=1,5 кН/см² (таблица А.1, приложение А);

Коэффициент ξ по формуле (4.7)

Проверка прочности по нормальным напряжениям по формуле (4.1):

.

следовательно, проверять сечение на устойчивость по формуле (4.4) без учета изгибающего момента не требуется.

Проверка прочности по касательным напряжениям по формуле (4.2):

Проверяем устойчивость плоской формы деформирования от совместного действия N и M по формуле (4.3). Предварительно находим величины:

где k_ф=1,13 (таблица Л.2, приложение Л).

Проверка устойчивости:

Устойчивость обеспечена.

Проверяем прогиб по формулам (4.5), (4.6):

k=1; с=15,4+3,8·β=15,4+3,8·1=19,2 (таблица Л.3, приложение Л).

f= cм.

f=1,436 см < f_и= =

Прогиб балки обеспечен.

Задача 4.2

Проверить прочность и жесткость (прогиб) растянуто-изгибаемого элемента прямоугольного поперечного сечения размером h×b (рисунок 4.2). Исходные данные: продольная растягивающая сила N = 130 кН; расчетная равномерно-распределенная нагрузка q = 6 кН/м; нормативная q^н = 4,6 кН/м; геометрическая длина элемента l = 3800 мм; высота поперечного сечения h = 200мм; ширина b= 150 мм; материал – ясень, первого сорта. Условия эксплуатации не оговорены. Ослаблений поперечного сечения нет.

Рисунок 4.2 – Расчетная схема элемента

Решение

Проверку прочности выполняем по формуле (4.9). Предварительно найдем необходимые величины, входящие в эту формулу:

(ослаблений сечения нет);

(ослаблений сечения нет);

(таблица А.1, приложение А, таблица Б.1, приложение Б);

(таблица А.1, приложение А; таблица Б.1, приложение Б).

Проверка прочности элемента:

Прочность обеспечена.

Проверяем жесткость (прогиб) по формулам (4.10), (2.5) и (2.6). Предварительно находим: k = 1; с = 15,4 + 3,8·β = 15,4 + 3,8 · 1=19,2 (таблица Л.3, приложение Л);

где Е=10000 МПа=1000 кН/см² (приложение Б*).

Проверка жесткости:

Жесткость (прогиб) элемента обеспечена.

Задания

Задача 4.1

П роверить прочность, устойчивость плоской формы деформирования и прогиб элемента цельного прямоугольного сечения (h×b), подверженного действию сжимающей силы и изгиба (рисунок 4.3). Элемент не имеет промежуточных подкреплений из плоскости изгиба. При невыполнении проверки устойчивости плоской формы деформирования, предложить решение, при котором эта проверка будет выполнена. Исходные данные принять по таблице 4.1. При проверке прогиба нормативную нагрузку (q^н, Р^н) получить путем деления расчетной (q, Р) на коэффициент надежности по нагрузке γ_f= 1,2.

Рисунок 4.3 – Схемы элементов и нагрузок

Таблица 4.1 – Исходные данные

№ варианта	Схема элемента	N, кН	Расчетная нагрузка		l, мм	e, мм	h, мм	b, мм	Материал, сорт
			q, кН/м	Р, кН
1	а	15	2,5	-	4500	-	225	125	пихта, 2с
2	б	20	-	3,5	3500	-	175	100	лиственница, 1с
3	в	25	-	-	4000	120	250	150	клен, 1с,
4	а	30	3,5	-	3000	-	225	125	ель, 2с
5	а	20	4,5	-	2000	-	175	100	береза, 1с
6	б	35	-	1,5	2500	-	200	125	сосна, 1с
7	в	12	-	-	4500	90	200	150	кедр сибирский, 1с
8	а	25	5,0	-	3500	-	225	175	акация, 2с
9	б	10	-	2,0	4500	-	225	200	ясень, 2с
10	в	18	-	-	5000	150	250	175	ель, 2с

Задача 4.2

Проверить прочность и жесткость растянуто-изгибаемого элемента прямоугольного поперечного сечения (hb). Исходные данные принять по таблице 4.2 и рисунку 4.4. При проверке прогиба нормативную нагрузку (q^н, N^н) получить путем деления расчетной (q, N) на коэффициент на коэффициент надежности по нагрузке γ_f= 1,2.

Рисунок 4.4 – Растянуто-изгибаемые элементы

Таблица 4.2 – Исходные данные

№ варианта	Исходные данные
	схема элемента	N, кН	l, мм	расчетная нагрузка q, кН/м	e, мм	b, мм	h, мм	сечение симметрично ослаблено отверстиями в середине пролета по высоте h, (n×d)*, мм, на длине участка а, мм	материал, сорт
1	а	100	3500	2,0	-	125	200	-	сосна, 2с
2	б	80	2500	-	70	150	200	-	акация, 1с
3	а	125	4000	4,0	-	150	175	n×d=2×1,2; а=150	кедр сибирский, 2с
4	б	70	3000	-	45	150	225	-	пихта, 1с
5	а	200	2500	5,0	-	175	250	n×d=2×1,6; а=220	лиственница, 2с
6	б	150	3500	-	30	150	275	-	ель, 1с
7	а	60	2000	7,0	-	125	250	n×d=2×1,2; а=190	вяз, 1с
8	б	110	4500	-	35	150	250	-	сосна, 1с
9	а	150	3000	3,0	-	175	225	-	береза, 2с
10	б	90	4000	-	55	150	175	-	дуб, 2с

Примечание * n – количество отверстий по высоте поперечного сечения h; d – диаметр отверстия, мм; a – расстояние между отверстиями на длине элемента l, мм; расстановка отверстий по длине элемента – прямая

Вопросы к практическому занятию

1. Как к элементу должна быть приложена нагрузка, чтобы в нем возникло внецентренное сжатие? Нарисуйте.

2. Как к элементу должна быть приложена нагрузка, чтобы в нем возникло такое напряженное состояние, как сжатие и изгиб? Нарисуйте.

3. Какие внутренние усилия возникают в таких элементах? Назовите их.

4. По каким группам предельных состояний ведется расчет внецентренно-сжатых и сжато-изгибаемых элементов?

5. Назовите предельные состояния, которые могут возникнуть в таких элементах.

6. В чем заключается особенность расчета таких элементов?

7. Как к элементу должна быть приложена нагрузка, чтобы в нем возникло внецентренное растяжение, растяжение и изгиб?

8. Какие внутренние усилия возникают в таких элементах?

9. Назовите проверки, которые необходимо выполнить для внецентренно-растянутых, растянуто-изгибаемых элементов?

10. В элементах с каким напряженным состоянием не учитывают дополнительный момент от продольной силы N в расчетах по формулам (4.9; 2.5; 4.10)?

11. Назовите конструкции или их элементы, где может возникнуть внецентренное сжатие (сжатие и изгиб), внецентренное растяжение (растяжение и изгиб).

12. Нормируется ли гибкость внецентренно-сжатых (сжато-изгибаемых) элементов?

Литература: [1, 2, 4].