Вариант № 3657484
1. B 9 № 27485. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :
.
Ответ: 0,5.
Ответ: 0,5
2. B 9 № 27486. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.
Ответ: -1
3. B 9 № 123715.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
.
Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 4 м/с, решим уравнение:
с.
Следовательно, скорость точки была равна 4 м/с на третьей секунде движения.
Ответ: 3.
Ответ: 3
4. B 9 № 122715.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
.
Тогда находим:
м/с.
Ответ: 8.
Ответ: 8
5.B 9 № 27489. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Решение.
Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.
Ответ: 4.
Ответ: 4
6. B 9 № 119973. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x=0,5, откуда b=−33.
Ответ: −33.
Ответ: -33
7. B 9 № 27487. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение.
Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
8.B 9 № 27498. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение.
Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
9. B 9 № 27505.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому
.
Ответ: -2.
Ответ: -2
10. B 9 № 119979. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?