Вариант № 3656315

1. B 9 . Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с?

 

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: м/с. Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни ско­рость была равна 3 м/с, решим урав­не­ние:

 

 

с.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

2. B 9 . На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции на от­рез­ке .

 

Ре­ше­ние.

Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма .

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

3. B 9 . На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь вы­де­лен­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти зна­че­ний пер­во­об­раз­ных, вы­чис­лен­ных в точ­ках и

Имеем:

 

 

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­лу­чим явное вы­ра­же­ние для По­сколь­ку

 

 

имеем:

 

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель от­ме­тит, что вто­рой под­ход эк­ви­ва­лен­тен вы­де­ле­нию пол­но­го куба:

 

 

что поз­во­ля­ет сразу же найти

 

Еще один спо­соб рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

 

 

Ответ:6.

Ответ: 6

4. B 9.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

 

.

 

Тогда на­хо­дим:

м/с.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

5. B 9. Пря­мая па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

 

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния :

 

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

6. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

 

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3; 0) и (4,2; 7). В них со­дер­жат­ся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

7. B 9. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни с.

 

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти: м/с. При имеем:

 

 

м/с.

 

Ответ: 59.

Ответ: 59

8. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки, в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней, она имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент рав­ный 2 и Оста­лось найти, при каких про­из­вод­ная при­ни­ма­ет зна­че­ние 2. Ис­ко­мая точка .

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

9. B 9. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те .

 

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

 

 

В нашем слу­чае имеем:

 

 

Ответ: 7.

Ответ: 7

10. B 9. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции и во­семь точек на оси абс­цисс: , . В сколь­ких из этих точек функ­ция воз­рас­та­ет?