Вариант № 3656648
1. B 9 № 317544. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.
Ответ:4.
Ответ: 4
2. B 9 № 27488. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение.
Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (−3,8; 1,2) и (2,8; 4,4). В них содержатся целые точки −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Их 7 штук.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3. B 9 № 323077. На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].
Решение.
По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно,
решениями уравнения
f(x)=0
являются точки экстремумов
изображенной на рисунке
функции F(x)
Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2;
2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4]
лежат 10 точек. Таким образом, на
отрезке [−2;4] уравнение
имеет
10 решений.
Ответ:10.
Ответ: 10
4. B 9 № 119974. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
Ответ: 7.
Ответ: 7
5. B 9 № 27494. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Решение.
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.
Ответ: 1.
Ответ: 1
6. B 9 № 27487. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение.
Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
7. B 9 № 27501. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
8. B 9 № 122715.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
Решение.
Найдем закон изменения скорости:
.
Тогда находим:
м/с.
Ответ: 8.
Ответ: 8
9. B 9 № 119973. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x=0,5, откуда b=−33.
Ответ: −33.
Ответ: -33
10.
B 9 № 27486.
Прямая
является
касательной к графику
функции
.
Найдите абсциссу точки
касания.