2. Объем и содержание понятия

Всякий математический объект обладает определенными свой­ствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали.

Можно указать и другие свойства квадрата.

Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства — это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Так, названные выше свойства квадрата являются существенными, а свойство «сторона АО квадрата АВСй горизонтальна» несущественное (если квадрат ЛВСО по­вернуть (рис. 1), то сторона АО окажется расположенной по-

другому). Поэтому, чтобы по­нимать, что представляет со- Л Г

бой данный объект доста­точно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. А О

Совокупность всех взаимо­связанных существенных свойств объекта называют содержанием понятия об этом объекте.

Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют , в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним терми­ном (словом, названием). Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Совокупность всех квадратов составляет объем понятия квадрата.

Вообще объем понятия — это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Таким образом, всякое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием.

Между объемом понятия и его содержанием существует связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «прямоугольный тре­угольник» «меньше» объема понятия «треугольник», поскольку в объем первого понятия входят не все треугольники, а только пря­моугольные. Но содержание первого понятия «больше» содержа­ния второго: прямоугольный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только прямо­угольным треугольникам.

Начальный курс математики насыщен различными математи­ческими понятиями. Так, уже в I классе учащиеся знакомятся с понятиями «цифра», «число», «слагаемое», «сумма», «отрезок», «длина отрезка» и многими другими. Во II классе к ним добавля­ются понятия, связанные с умножением и делением, в III — понятия дроби, площади фигуры и другие.

Упражнения

1. Начертите три объекта, принадлежащие объему понятия: 1) геометрическая фигура; 2) прямоугольник; 3) квадрат;

4. ромб.

2. Назовите пять существенных свойств понятия: 1) треуголь­ник; 2) прямоугольник; 3) трапеция.

3. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными: 1) две стороны тра­пеции параллельны; 2) основания трапеции горизонтальные;

3. оба угла при большем основании острые; 4) оба угла при мень­шем основании тупые; 5) сумма внутренних углов трапеции равна 360°?

4. Верно ли, что объем понятия «прямоугольник» «больше», чем объем понятия «квадрат»? Какая взаимосвязь существует между содержанием этих понятий?

5. Каков объем понятия: 1) цифра; 2) однозначное число?

6. Назовите несколько свойств, общиг для прямоугольника и квадрата, и выясните, какое утверждение верное: 1) всякое свойство прямоугольника присуще квадрату; 2) всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику.

7. Среди следующих свойств выделите те, которыми обладает квадрат: 1) диагонали делят друг друга в точке пересечения пополам; 2) диагонали делят углы пополам.

8. Какими свойствами из названных в упражнении 7 обладает:

1. прямоугольник; 2) параллелограмм; 3) ромб?