4. Требования к определению понятий

Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как преобладающее большин­ство определений в школьном курсе математики — это определе­ния через род и видовое отличие, то речь будет идти о правилах этих определений.

Прежде всего определяемое и определяющее понятия должны быть соразмерны. Это значит, что совокупности предметов, охва­тываемые ими, должны совпадать. Соразмерны, например, поня­тия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые а и Ь называют­ся параллельными, если они не имеют общих точек или совпада­ют» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещива­ющиеся прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые а и Ь называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

Второе правило определения запрещает порочный круг: нельзя определять понятие через само себя или определять его через другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него. Возьмем такие понятия начальной математики, как «умножение» и «произведение», и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произ­ведения, а произведение — через понятие умножения. Определе­ния образовали, как говорят в математике, порочный круг. В ре-

зультате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочным круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Третьим важным требованием к логически правильному опре­делению понятия является следующее: в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия.

Рассмотрим, например, такое определение понятия «смежные углы»: «Смежными называются углы, которые в сумме составля­ют 180°». Нетрудно увидеть, что под данное определение можно подвести не только углы, изображенные на рисунке 2 и действи­тельно являющиеся смежными, но и углы, изображенные на ри­сунке 3. Почему так произошло? Дело в том, что в приведенном определении смежных углов указано лишь одно их свойство, а именно свойство составлять в сумме 180°, но его недостаточно для выделения смежных углов из всех других.

Еще одно требование к правильному определению понятия — отсутствие в нем избыточности. Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из дру­гих свойств, также включенных в определение понятия.

Рассмотрим определение: «Прямоугольником называется че­тырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые». Можно показать, что включенное в определение свойство «иметь противоположные равные стороны» вытекает из свойства «иметь прямые углы». Следовательно, данное определе­ние прямоугольника избыточное и правильнее определять прямо­угольник таким образом: «Прямоугольником называется четырех­угольник, у которого все углы прямые».

Следует сказать, что в любом определении понятия есть эле­мент произвола, что проявляется, во-первых, в выборе термина (прямоугольник, в котором все стороны равны, мог бы называться и по-другому), а во-вторых, в выборе свойств, включаемых в оп­ределение. И принципе понятие квадрата можно определить так: «Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые» — или так: «Квадратом называется параллелограмм, у которого все

стороны равны, а углы прямые». Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание этого понятия, в определение включаются только некоторые.

Если одному и тому же понятию даются, например, два раз­ных определения, то они должны быть равносильными. Это озна­чает, что из свойств, включенных в одно определение, должны вытекать свойства, положенные в основу другого определения, и наоборот.

Чем же руководствуются, когда из возможных определений некоторого понятия выбирают одно? Исходят из того, какое опре­деление проще, естественнее или целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же какие-либо свойства оказываются включенными в определение, то другие свойства тех же объектов могут быть логи­чески выведены из тех, что вошли в определение. Это важное по­ложение используют при решении задач на распознавание. Если объект А принадлежит объему определяемого понятия, то он обладает всеми свойствами, которые указаны в определении понятия. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если известно, что объект А обладает всеми свойствами, которые указаны в определении понятия, называемого некоторым термином, то и объект А можно назвать этим термином.

Пример. Используя определение диаметра окружности, установим, в каком из случаев, представленных на рисунке 4, отрезок СО является диаметром.

6

Рнс. 4

Определим диаметр окружности следующим образом: диамет­ром окружности называется хорда, проходящая через ее центр. Чтобы отрезок СО оказался диаметром окружности, достаточно одновременное выполнение двух условий: отрезок СО должен быть хордой окружности и проходить через ее центр. Этим двум условиям удовлетворяет отрезок СО в случае «а». В случае «б» отрезок СО — хорда, но он не проходит через центр окружности; в случае «в» отрезок СО проходит через центр окружности, но не является хордой.

Еще одним требованием к логически правильному определе­нию понятия является следующее: необходимо, чтобы определяе­мый объект существовал. Рассмотрим, например, такое определе­ние: «Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого все углы тупые». Нетрудно убедиться в том, что треуголь­ник, у которого все углы тупые, не существует. Следовательно, данному определению реально ничего не соответствует, и поэтому оно не может считаться логически правильным.

Заметим, что в математике для ответа на вопрос, существует ли объект, удовлетворяющий данному определению, как прави­ло, доказывают специальную теорему, подтверждающую возмож­ность существования объекта, о котором говорится в определении. В геометрии существование объекта, удовлетворяющего опреде­лению, иногда обосновывают построив его.

Упражнения

1. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника и выявите его структуру.

2. Учащийся определил прямой угол как угол, стороны кото­рого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

Каким образом могут быть ознакомлены учащиеся начальных классов с понятием прямого угла?

3. Учащийся по аналогии с определением остроугольного треугольника сформулировал такое определение остроугольного четырехугольника: «Остроугольным четырехугольником назы­вается выпуклый четырехугольник, все углы которого острые». Можно ли считать это определение правильным?

4. Один учащийся определил понятие прямоугольника так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и стороны попарно равны».

Второй учащийся сказал: «Прямоугольником называется четы­рехугольник, у которого все углы прямые».

И наконец, третий дал такое определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные сторо­ны равны».

Какой из учащихся дал правильное определение понятия пря­моугольника?

Можно ли определить это понятие еще каким-либо образом?

5. В каких из приведенных ниже определений математических понятий имеются ошибки? Исправьте их, если это возможно.

1. Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам. 2) Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга. 3) Касательной к окруж­ности называется прямая, которая касается окружности. 4) Ром­бом называется параллелограмм, две смежные стороны которого

и

Рнс. 5

/V

Г₂

равны. 5) Сложением называется действие, при котором числа складываются, б) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все его стороны и все его углы. 7) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

6. Проанализируйте логическую структуру определения пря­моугольника (через четырехугольник) и установите, какие из фи­гур (рис. 5) являются прямоугольниками.

7. Дайте определение биссектрисы углы и установите, на каком из рисунков луч ВО является биссектрисой угла (рис. 6).

8. Сформулируйте определение понятия «квадрат», указав в качестве родового понятия «прямоугольник». Пользуясь данным определением, укажите условия, при которых: 1) фигура будет являться квадратом; 2) фигура не будет являться квадратом.

9. Достаточно ли нижеприведенное условие для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником: I) он имеет две пары параллельных сторон; 2) три его угла являются прямыми;

3. его диагонали конгруэнтны; 4) две его стороны параллельны?

10. Приведите примеры задач на распознавание фигур и дру­гих объектов из учебников математики для начальных классов.