63. Вычитание многозначных чисел в десятичной системе счисления

Вычитание однозначного числа Ь из однозначного или двузнач­ного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что а = 6 + с, и происходит с опорой на таблицу сложения однозначных чисел.

Если числа а и Ь многозначные и Ь<а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной.

Как известно, многозначные числа вычитают «столбиком». Выяс­ним, каковы теоретические основы этого алгоритма.

Рассмотрим разность 769 — 547. Представим данные числа в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 769 — 547 = (7 • Ю² + + 6-10 + 9) —(5-10²+ 4-10 + 7). Чтобы вычесть из числа 7-10² + + 6-10 + 9 сумму 5- Ю² + 4-10 + 7, достаточно вычесть из нее каждое слагаемое одно за другим, поэтому можно записать: (7-10² + 6-10 + + 9) —5-10² —4-10 —7.

Будем теперь вычитать из суммы 7-10² + 6-10 + 9 числа 5-10², 4-10, 7. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-нибудь одного слагаемого. Поэтому число 5-1О² вычтем из слагаемого 7-10², число 4-10 — из слагаемого 6-10, а число 7 — из слагаемого 9:

(7-10² — 5-10³) + (6-10 — 4 -10) + (9 — 7).

На основании распределительного свойства умножения относи­тельно вычитания выносим за скобки 10² и 10:

(7-5)-10² + (6 — 4) • 10 + (9 — 7).

Видим, что вычитание данных чисел 769 и 547 свелось к вычи­танию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Разности 7 — 5, 6 — 4, 9 — 7 находим по таблице сложения:

2 -10² + 2-10 + 2.

Полученное выражение есть десятичная запись числа 222. Сле­довательно, 769 — 547 = 222.

Вообще правило вычитания «столбиком» основывается на: способе записи чисел в десятичной системе счисления; правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа; распределительном законе умножения относительно вычитания; таблице сложения однозначных чисел.

Покажем, что и в том случае, когда в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньшее числа в том же разряде вычитаемого, в основе правила вычитания лежат те же теоретические факты. Рассмотрим, например, разность 540—126.

Представим данные числа в виде сумм степеней 10 с коэффици­ентами: (5-10² + 4 -10 + 0)—(1 • 10² + 2 -10 + 6).

Так как из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание, так же как и в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 540 один десяток и представим его в виде 10 единиц:

(5- Ю² + 3-10+ 10) — (I • 10² + 2-10 + 6).

Если теперь воспользуемся правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, то придем к выражению

(5-10²— 1-10²) + (3*10 — 2-10) +(10— 0).

Применим распределительный закон умножения относительно вычитания и, воспользовавшись таблицей сложения, получим:

(5- 1) -10² + (3 — 2) -10 + (10 — 6) = 4 -10² + 1 -10 + 4 = 414.

В общем виде алгоритм вычитания многозначных чисел, запи­

санных в десятичной системе счисления, формулируется так. Пусть заданы числа

х = а_п' 10" +... + «I • 10 +а₀,

у — Ьк' 10* + ... + 61 • 10 + Ьо.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответ­ствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц умень­шаемого, т. е. ао<Ь₀, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифры десятков уменьшаемого на 1, одно­временно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а_о число Ьо и записываем результат в разряде единиц разности, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц умень­шаемого и цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т. д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую, отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших-разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц — па 10, вычитаем Ьо из 10 + ао, записываем результат в разряде единиц разности и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Процесс вычитания заканчивается, когда производится вы­читание из старшего разряда уменьшаемого.

В начальном курсе математики правило вычитания многознач­ных чисел формулируется при изучении письменного вычитания трех­значных чисел. Этому правилу и записи вычитания «столбиком» предшествует объяснение конкретного случая:

485 — 231 = (400 + 80 + 5) - (200 + 30+1)=(400 - 200) + (80 - 30) +

+ (5- 1) = 200 + 50 + 4 = 254.

Обоснуем каждый шаг выполняемых преобразований.

Сначала числа 485 и 231 представляются в виде сумм разряд­ных слагаемых (т. е. используется представление числа в десятичной системе счисления). Затем из сотен первого числа вычитаются сотни второго, из десятков — десятки, из единиц — единицы, что возможно на основании правил вычитания иззчисла суммы и числа из суммы. Действительно:

а) на основании правила вычитания из числа суммы:

(400 + 80 + 5) — 200 — 3 — 1;

б) на основании правила вычитания числа из суммы:

(400 - 200) + (80 - 30) + (5 - 1).

Разности в скобках находятся с опорой на таблицу сложения однозначных чисел.

Выражение 200 + 50 + 4 есть .сумма разрядных слагаемых, поэ­тому его можно записать в виде 254.

Таким образом, вычитание из числа 485 числа 231 свелось к поразрядному вычитанию единиц, десятков и сотен, что удобно делать, записав данные числа «столбиком»:

_485

231

254

Упражнения

1. На примере вычитания чисел 875 и 528 покажите, какие теоретические факты лежат в основе агоритма вычитания много­значных чисел.

2. При изучении алгоритма вычитания трехзначных чисел в на­чальной школе последовательно рассматриваются случаи вычита­ния: 563-321, 540-236, 875-528, 826-351, 725-256. Каковы особенности вычитания в каждом из этих случаев?

3. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются вычи­танием, и решите их:

1. Из двух городов, находящихся один от другого на расстоя­нии 986 км, вышли навстречу друг другу два поезда. Один из них прошел до встречи 425 км. Сколько километров прошел до встречи второй поезд?

2. С первого участка получили 380 т пшеницы, со второго на 127 т меньше, чем с первого. Сколько тони пшеницы получили со второго участка?

4. Вычислите устно значение выражения, использованный прием обоснуйте:

1. 7549-(1020+ 2549);

2. (9547+ 2395)-7547;

3. (3949.+5027 + 4 843) - (2027 + 384 3).

5. Найдите наиболее рациональный способ вычисления:

1. 8034+472-(34+ 472);

2. 1743-295+ (257+ 295).

6. Сравните выражения:

1. 6387-1486-821 и 6387 — (1486 + 821);

2. 5247-(4524-2805) и 5247-4524-2805.

7. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:

1. В цветочный магазин привезли 465 кустов цветочной рас­сады. Утром продали 43 кустика, а днем 122 кустика. Сколько кустиков рассады осталось продать?

2. Почтальон разнес утром 350 писем, днем на 35 писем меньше, а вечером на 112 писем меньше, чем днем. Сколько писем почтальон разнес вечером?

3. На элеватор доставили в первый день 897 т пшеницы, во второй день на 135 т больше, чем в первый, а в третий день на 76 т меньше, чем во второй день. Сколько тонн пшеницы доставили на элеватор в третий день?

4. С одного поля собрали 9000 кг картофеля, с другого — на 1320 кг меньше. Когда с каждого поля часть картофеля увезли, на первом поле осталось 2360 кг, на втором 2100 кг. С какого поля увезли картофеля больше и на сколько?

5. Из двух городов, растояние между которыми 846 км, вышли навстречу друг другу два поезда. Какое расстояние будет между поездами, когда один пройдет 324 км, а другой 286 км?

8. Решите арифметическим способом задачи:

1. В первой библиотеке 6844 книги, что на 959 книг меньше, чем во второй, а в третьей на 2348 книг меньше, чем в первой и второй библиотеках вместе. Сколько книг в трех библиотеках?

2. На одном заводе 7216 рабочих — это на 1867 человек боль­ше, чем на втором, а на третьем на 874 человека больше, чем на первом и втором заводах вместе. Сколько рабочих на трех заводах?