2). Схема оптимального исключения. Записываем в таблицу только рабочую часть расширенной матрицы, т.К. Остальные строки не преобразовываются.
№ шага |
|
|
|
|
|
k=0 |
2,34 |
-1,84 |
-0,32 |
0,11 |
2,22 |
|
-1,19 |
0,43 |
-0,52 |
3,37 |
-5,26 |
|
0,33 |
0,61 |
7,75 |
-2,18 |
0,15 |
|
-1,53 |
0,81 |
0,94 |
-4,82 |
-3,74 |
k=1 |
1 |
-0,786 |
-0,137 |
0,047 |
0,949 |
k=2 |
1 |
0 |
0,925 |
-5,280 |
7,372 |
|
0 |
1 |
1,350 |
-6,774 |
8,169 |
k=3 |
1 |
0 |
0 |
-5,796 |
8,387 |
|
0 |
1 |
0 |
-7,528 |
9,650 |
|
0 |
0 |
1 |
0,558 |
-1,097 |
k=4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
6,739 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
7,510 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
-0,939 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
-0,284 |
Ответ: x1 = 6,74; x2 = 7,51; x3 = -0,94; x4 = -0,28.
4.3 Метод Холецкого.
Метод Холецкого также относится к прямым методам решения системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей:
(1)
Если
представить матрицу
в виде произведения
,
где
,
,
то система (1) примет вид:
.
Обозначив
,
получаем 2 системы с треугольными
матрицами:
(2)
и
, (3)
которые легко решаются. Решая (3), а затем (2), получаем решение системы (1)- вектор Х.
Самый
трудоемкий этап метода Холецкого -
вычисление элементов матриц B
и C
(прямой ход).
Элементы этих матриц
и
находят “ёлочкой”, т.е. по схеме: строка
матрицы C
- столбец матрицы B.
Прямой ход завершается вычислением
значений
.
Обратный ход - вычисление
.
Описание алгоритма и расчётные формулы.
Прямой ход.
Для k=1 вычисляем элементы 1-ой строки матрицы С и элементы 1-го столбца матрицы В:
j
= 1...n;
=
1;
i
=
1..n. (4)
Для 1<k<n находим элементы k-ой строки матрицы C и k-го столбца матрицы В по формулам:
j
=
k,
k+1,...n. (5)
i
= k+1,
k+2,...n. (6)
3)
Для k
= n
находим
(7)
Для контроля проверяют выполнение условия BC = A.
4)
Находим решение системы (3) по формулам:
i
= 2, 3,...n.
Здесь
-
свободные члены системы (1),
-
элементы матрицы В.
5)
Обратный ход.
Находим решение системы (2) по формулам:
i
= n-1,
n-2,....2,
1.
Здесь
-элементы
матрицы С.
Задача
Решить систему уравнений из п.4.2.2, используя метод Холецкого:
Решение. Прямой ход.
|
|
|
|
|
|
|
|
2,34 |
-1,84 |
-0,32 |
0,11 |
2,22 |
2,22 |
A |
-1,19 |
0,43 |
-0,52 |
3,37 |
-5,26 |
-4,131 |
|
0,33 |
0,61 |
7,75 |
-2,18 |
0,15 |
-7,265 |
|
-1,53 |
0,81 |
0,94 |
-4,82 |
-3,74 |
2,307 |
|
Разложение матрицы А |
|
|
|||
|
2,34 |
-1,84 |
-0,32 |
0,11 |
6,739 |
|
|
1 |
-0,506 |
-0,683 |
3,426 |
7,510 |
|
B\C |
-0,509 |
1 |
6,621 |
3,695 |
-0,939 |
|
|
0,141 |
-1,719 |
1 |
-8,115 |
-0,284 |
|
|
-0,654 |
0,777 |
0,191 |
1 |
|
|
Подробные формулы.
j
=
2, 3, 4;
i
=
3,4.
3,4;
.
Обратный ход.
5)
.
Ответ: x1 = 6,74; x2 = 7,51; x3 = -0,94; x4 = -0,28.